高考数学一轮复习第七章第七节立体几何中的向量方法课时作业理含解析北师大版

第七节 立体几何中的向量方法

授课提示：对应学生用书第351页

[A组　基础保分练]

1．将边长为1的正方形AA1O1O（及其内部）绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为（　　）

A．　　　 B．　　　

C．　　　　 D．

解析：以O为坐标原点建系（图略），则A（0，1，0），A1（0，1，1），B1，C．

所以＝（0，0，1），＝（0，－1，－1），

所以cos〈，〉＝

＝＝－，

所以〈，〉＝，

所以异面直线B1C与AA1所成的角为．

答案：B

2．如图，已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为（　　）

A．  B． 

C．  D．

解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系（图略），则C1（0，3，1），D1（0，0，1），E（1，1，0），C（0，3，0），所以＝（0，3，1），＝（1，1，－1），＝（0，3，－1）．

设平面D1EC的法向量为n＝（x，y，z），

则即

即取y＝1，得n＝（2，1，3）．

因为cos〈，n〉＝＝＝，所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为．

答案：A

3．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCD­A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为（　　）

A．a  B．a

C．a  D．a

解析：A′（a，0，a），A（a，0，0），C（0，a，0），B（a，a，0），F，E，

|EF|＝ ＝a．

答案：B

4．如图，在四棱锥P­ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（　　）

解析：法一：以D为原点，DA，DC分别为x，y轴建系如图：

设M（x，y，0），设正方形边长为a，则P，C（0，a，0），

则||＝，

||＝．由||＝||得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条直线y＝x．

法二：所求轨迹是线段PC的垂直平分面与平面ABCD的交线．

答案：A

5．在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则点D到平面PBC的距离是_________．

解析：分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图，则A（0，0，0），P（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，1，0），

∴＝（2，2，－2），＝（0，2，0）．

设n＝（x，y，z）为平面PBC的法向量，则即

取x＝1，则n＝（1，0，1）．

又＝（－2，1，0），

∴点D到平面PBC的距离d＝＝．

答案：

6．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于_________．

解析：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA1＝2AB＝2，则D（0，0，0），C（0，1，0），B（1，1，0），C1（0，1，2），则＝（0，1，0），＝（1，1，0），＝（0，1，2）．

设平面BDC1的法向量为n＝（x，y，z），则

所以有

令y＝－2，得平面BDC1的一个法向量n＝（2，－2，1）．

设CD与平面BDC1所成的角为θ，则

sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝．

答案：

7．（2021·西安摸底）如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，AC⊥BC，AB⊥BB1，AC＝BC＝BB1，D为AB的中点，且CD⊥DA1．

（1）求证：BB1⊥平面ABC；

（2）求锐二面角C­DA1­C1的余弦值．

解析：（1）证明：因为AC＝BC，D为AB的中点，所以CD⊥AB，又DC⊥DA1，AB∩DA1＝D，所以CD⊥平面AA1B1B，

又BB1平面AA1B1B，

所以CD⊥B1B，又B1B⊥AB，AB∩CD＝D，

所以B1B⊥平面ABC．

（2）由已知及（1）可得CB，CC1，CA两两互相垂直，所以以C为坐标原点，以CB所在直线为x轴，CC1所在直线为y轴，CA所在直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系，设CC1＝2，则C（0，0，0），C1（0，2，0），A1（0，2，2），D（1，0，1），所以＝（1，0，1），＝（0，2，2），＝（1，－2，1），＝（0，0，2）．

设平面DCA1的法向量n1＝（x1，y1，z1），

则即令z1＝－1，则x1＝1，y1＝1，n1＝（1，1，－1）．

设平面DC1A1的法向量n2＝（x2，y2，z2），

则即得z2＝0，x2－2y2＝0，令y2＝1，则x2＝2，n2＝（2，1，0）．

所以cos〈n1，n2〉＝＝＝．

故锐二面角C­DA1­C1的余弦值为．

[B组　能力提升练]

1．（2021·合肥调研）如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，点O为棱AB的中点．

（1）求证：BC1∥平面A1CO；

（2）若△ABC是等边三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60°，平面AA1B1B⊥平面ABC，求二面角A­A1C­B的余弦值．

解析：（1）证明：连接AC1交A1C于M，连接OM．

由三棱柱ABC­A1B1C1知，四边形ACC1A1为平行四边形，M为AC1的中点．

又O为AB的中点，∴BC1∥OM．

∵OM平面A1CO，BC1⃘平面A1CO，

∴BC1∥平面A1CO．

（2）∵△ABC是等边三角形，且AB＝AA1，∠A1AB＝60°，∴A1O⊥AB，CO⊥AB．

又平面AA1B1B⊥平面ABC，∴A1O⊥平面ABC，∴A1O⊥CO．

以O为坐标原点，直线OC，OA，OA1分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．

设AC＝AB＝BC＝AA1＝2，则C（，0，0），A（0，1，0），B（0，－1，0），A1（0，0，）．

设平面A1AC的法向量为n1＝（x1，y1，z1），

则n1⊥，n1⊥，

∴

∵＝（，－1，0），＝（0，－1，），

∴

令y1＝，得x1＝1，z1＝1，即n1＝（1，，1）．

设平面A1BC的法向量为n2＝（x2，y2，z2），

则n2⊥，n2⊥，

∴

∵＝（，1，0），＝（0，1，），∴

令y2＝－，得x2＝1，z2＝1，即n2＝（1，－，1）．

∴cos〈n1，n2〉＝＝－，

由题意可知，二面角A­A1C­B为锐角，其余弦值为．

2．（2021·福州市高三质检）在直三棱柱ABC­A1B1C1中，△ABC为正三角形，点D在棱BC上，且CD＝3BD，点E，F分别为棱AB，BB1的中点．

（1）证明：A1C∥平面DEF；

（2）若A1C⊥EF，求直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值．

解析：（1）证明：如图，连接AB1交A1B于点H，设A1B交EF于点K，连接DK，

因为四边形ABB1A1为矩形，所以H为线段A1B的中点．

因为点E，F分别为棱AB，BB1的中点，

所以点K为线段BH的中点，所以A1K＝3BK．

又CD＝3BD，所以A1C∥DK．

又A1C⃘平面DEF，DK平面DEF，

所以A1C∥平面DEF．

（2）连接CE，EH，由（1）知，EH∥AA1，

因为AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC．

因为△ABC为正三角形，且点E为棱AB的中点，

所以CE⊥AB．

故以点E为坐标原点，分别以，，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系E­xyz．

设AB＝4，AA1＝t（t＞0），则A1（2，t，0），A（2，0，0），C（0，0，2），E（0，0，0），F，D，

所以＝（－2，－t，2），＝．因为A1C⊥EF，所以·＝0，

所以（－2）×（－2）－t×＋2×0＝0，所以t＝2，

所以＝（－2，，0），＝．

设平面DEF的法向量为n＝（x，y，z），

则所以

取x＝1，则n＝（1，，）．

又＝＝（－2，0，2），

设直线A1C1与平面DEF所成的角为θ，

则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝＝，

所以直线A1C1与平面DEF所成的角的正弦值为．

[C组　创新应用练]

如图，正方形ABCD的边长为4，E，F分别为BC，DA的中点．将正方形ABCD沿着线段EF折起，使∠DFA＝60°．设G为AF的中点．

（1）求证：DG⊥EF；

（2）求直线GA与平面BCF所成角的正弦值；

（3）设P，Q分别为线段DG，CF上的点，且PQ∥平面ABEF，求线段PQ的长度的最小值．

解析：（1）证明：因为正方形ABCD中，

E，F分别为BC，DA的中点，

所以EF⊥FD，EF⊥FA，

又因为FD∩FA＝F，

所以EF⊥平面DFA．

又因为DG平面DFA，

所以DG⊥EF．

（2）因为∠DFA＝60°，DF＝FA，AG＝GF，

所以△DFA为等边三角形，且DG⊥FA．

又因为DG⊥EF，EF∩FA＝F，

所以DG⊥平面ABEF．

设BE的中点为H，连接GH，则GA，GH，GD两两垂直，故以GA，GH，GD所在直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系G­xyz，如图，

则G（0，0，0），A（1，0，0），B（1，4，0），C（0，4，），F（－1，0，0），

所以＝（1，0，0），＝（－1，0，），

＝（－2，－4，0）．

设平面BCF的法向量为m＝（x，y，z），

由m·＝0，m·＝0，得

令z＝2，得m＝（2，－，2）．

设直线GA与平面BCF所成的角为α，

则sin α＝|cos〈m，〉|＝＝，

即直线GA与平面BCF所成角的正弦值为．

（3）由题意，可设P（0，0，k）（0≤k≤），＝λ（0≤λ≤1），

由＝（1，4，），得＝（λ，4λ，λ），

所以Q（λ－1，4λ，λ），＝（λ－1，4λ，λ－k）．

由（2）得，＝（0，0，）为平面ABEF的一个法向量．

因为PQ∥平面ABEF，

所以·＝0，即λ－k＝0．

所以||＝

＝＝，

又因为17λ2－2λ＋1＝17＋，

所以当λ＝时，||min＝．

所以当λ＝，k＝时，线段PQ的长度取得最小值，其最小值为．