高考数学一轮复习第八章第二节两直线的位置关系课时作业理含解析北师大版

第二节 两直线的位置关系

授课提示：对应学生用书第355页

[A组　基础保分练]

1．（2021·安徽江南十校二联）已知直线l1：mx－3y＋6＝0，l2：4x－3my＋12＝0，若l1∥l2，则l1，l2之间的距离为（　　）

A．　　　　　　　 B．

C．  D．

解析：由于两条直线平行，所以m·（－3m）－（－3）·4＝0，解得m＝±2，当m＝2时，两直线方程都是2x－3y＋6＝0，故两直线重合，不符合题意．当m＝－2时，l1：2x＋3y－6＝0，l2：2x＋3y＋6＝0，故l1，l2之间的距离为＝．

答案：A

2．（2021·上海松江区模拟）过点（0，1）且与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程是（　　）

A．2x＋y－1＝0  B．2x＋y＋1＝0

C．x－2y＋2＝0  D．x－2y－1＝0

解析：设与直线x－2y＋1＝0垂直的直线方程为2x＋y＋m＝0，代入点（0，1）的坐标，得0＋1＋m＝0，解得m＝－1，所以所求的直线方程为2x＋y－1＝0．

答案：A

3．“m＝1”是“直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：直线l1：mx＋y－1＝0和直线l2：x＋my＋6＝0平行⇔m2＝1⇔m＝±1，“m＝1”是“m＝±1”的充分不必要条件．

答案：A

4．已知A（1，6），B（0，5），作直线l，使得点A，B到直线l的距离均为d，且这样的直线l恰有4条，则d的取值范围是（　　）

A．d≥1  B．0＜d＜1

C．0＜d≤1  D．0＜d＜2

解析：A，B两点到直线l的距离相等，这样的直线有两类，第一类是过线段AB的中点的直线；第二类是与直线AB平行的直线．而|AB|＝＝2，要使满足条件的直线l有4条，只需要0＜d＜|AB|＝1．

答案：B

5．如果平面直角坐标系内的两点A（a－1，a＋1），B（a，a）关于直线l对称，那么直线l的方程为（　　）

A．x－y＋1＝0  B．x＋y＋1＝0

C．x－y－1＝0  D．x＋y－1＝0

解析：因为直线AB的斜率为＝－1，所以直线l的斜率为1．设直线l的方程为y＝x＋b，由题意知直线l过点，所以＝＋b，解得b＝1，所以直线l的方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0．

答案：A

6．直线l经过点M（2，1），若点P（4，2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，则直线l的方程为（　　）

A．3x－2y－4＝0

B．x＝2或3x－2y－4＝0

C．x＝2或x－2y＝0

D．x＝2或3x－2y－8＝0

解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，符合题意．当直线l的斜率存在时，依题意可设直线l的方程为y－1＝k（x－2），即kx－y＋1－2k＝0．因为P（4，2）和Q（0，－4）到直线l的距离相等，所以|4k－2＋1－2k|＝|4＋1－2k|，解得k＝，则直线l的方程为3x－2y－4＝0．

答案：B

7．（2021·上海闵行区模拟）已知两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离为_________．

解析：两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：2x＋y＋1＝0，即两条直线l1：4x＋2y－3＝0，l2：4x＋2y＋2＝0，它们之间的距离d＝＝．

答案：

8．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是（－4，2），（3，1），则点C的坐标是_________．

解析：设A（－4，2）关于直线y＝2x的对称点为（x，y），

则解得

∴BC所在直线方程为y－1＝（x－3），即3x＋y－10＝0．同理可得点B（3，1）关于直线y＝2x的对称点为（－1，3），∴AC所在直线方程为y－2＝·（x＋4），即x－3y＋10＝0．联立得解得则C（2，4）．

答案：（2，4）

9．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：（a－1）x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．

（1）l1⊥l2，且直线l1过点（－3，－1）；

（2）l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．

解析：（1）因为l1⊥l2，

所以a（a－1）－b＝0．

又因为直线l1过点（－3，－1），

所以－3a＋b＋4＝0．

故a＝2，b＝2．

（2）因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，

所以直线l1的斜率存在．

所以＝1－a．①

又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，

所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b．②

联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝，b＝2．

10．正方形的中心为点C（－1，0），一条边所在的直线方程是x＋3y－5＝0，求其他三边所在直线的方程．

解析：点C到直线x＋3y－5＝0的距离d＝＝．

设与x＋3y－5＝0平行的一边所在直线的方程是x＋3y＋m＝0（m≠－5），

则点C到直线x＋3y＋m＝0的距离

d＝＝，

解得m＝－5（舍去）或m＝7，

所以与x＋3y－5＝0平行的边所在直线的方程是x＋3y＋7＝0．

设与x＋3y－5＝0垂直的边所在直线的方程是3x－y＋n＝0，

则点C到直线3x－y＋n＝0的距离

d＝＝，

解得n＝－3或n＝9，

所以与x＋3y－5＝0垂直的两边所在直线的方程分别是3x－y－3＝0和3x－y＋9＝0．

[B组　能力提升练]

1．已知经过点A（－2，0）和点B（1，3a）的直线l1与经过点P（0，－1）和点Q（a，－2a）的直线l2互相垂直，则实数a的值为（　　）

A．0  B．1

C．0或1  D．－1或1

解析：直线l1的斜率k1＝＝a．当a≠0时，直线l2的斜率k2＝＝．因为l1⊥l2，所以k1k2＝－1，即a·＝－1，解得a＝1．当a＝0时，P（0，－1），Q（0，0），此时直线l2为y轴，又A（－2，0），B（1，0），则直线l1为x轴，显然l1⊥l2．综上可知，实数a的值为0或1．

答案：C

2．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k的值为（　　）

A．  B．

C．  D．2

解析：直线l1，l2恒过点P（2，4），直线l1在y轴上的截距为4－k，直线l2在x轴上的截距为2k2＋2，因为0＜k＜4，所以4－k＞0，2k2＋2＞0，所以四边形的面积S＝×2×（4－k）＋×4×（2k2＋2）＝4k2－k＋8，故当k＝时，面积最小．

答案：A

3．在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线x－my－2＝0的距离．当θ，m变化时，d的最大值为（　　）

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：由题意可得d＝

＝

＝

＝．

∵－1≤sin（θ－φ）≤1，

∴≤d≤，＝1＋，∴当m＝0时，d取最大值3．

答案：C

4．已知坐标原点关于直线l1：x－y＋1＝0的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B（2，－1）到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为（　　）

A．2x＋3y＋5＝0  B．3x－2y＋5＝0

C．3x＋2y＋5＝0  D．2x－3y＋5＝0

解析：设A（x0，y0），依题意可得解得即A（－1，1）．设点B（2，－1）到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，又－＝，故直线l2的方程为y－1＝（x＋1），即3x－2y＋5＝0．

答案：B

5．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是_________．

解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝，解得c＝－，所以l的方程为12x＋8y－15＝0．

答案：12x＋8y－15＝0

6．l1，l2是分别经过A（1，1），B（0，－1）两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是_________．

解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为k＝－，所以直线l1的方程是y－1＝－（x－1），即x＋2y－3＝0．

答案：x＋2y－3＝0

7．在直线l：3x－y－1＝0上求一点P，使得：

（1）P到A（4，1）和B（0，4）的距离之差最大；

（2）P到A（4，1）和C（3，4）的距离之和最小．

解析：（1）如图，设B关于l的对称点为B′，AB′的延长线交l于P0，在l上另任取一点P，则|PA|－|PB|＝|PA|－|PB′|≤|AB′|＝|P0A|－|P0B′|＝|P0A|－|P0B|，则P0即为所求．

易求得直线BB′的方程为x＋3y－12＝0，

设B′（a，b），则a＋3b－12＝0，①

又线段BB′的中点在l上，故3a－b－6＝0．②

由①②解得a＝3，b＝3，所以B′（3，3）．

所以AB′所在直线的方程为2x＋y－9＝0．

由可得P0（2，5）．

（2）设C关于l的对称点为C′，与（1）同理可得C′．

连接AC′交l于P1（图略），在l上另任取一点P，有|PA|＋|PC|＝|PA|＋|PC′|≥|AC′|＝|P1C′|＋|P1A|＝|P1C|＋|P1A|，故P1即为所求．

又AC′所在直线的方程为19x＋17y－93＝0，

故由可得P1．

[C组　创新应用练]

1．已知直线l1：2x－y＋3＝0，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，若点M同时满足下列条件：

（1）点M是第一象限的点；

（2）点M到l1的距离是到l2的距离的；

（3）点M到l1的距离与到l3的距离之比是∶．

则点M的坐标为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：设点M（x0，y0），若点M满足（2），则＝×，故2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0，若点M（x0，y0）满足（3），由点到直线的距离公式，得＝×，即|2x0－y0＋3|＝|x0＋y0－1|，故x0－2y0＋4＝0或3x0＋2＝0，由于点M（x0，y0）在第一象限，故3x0＋2＝0不符合题意．联立方程得解得不符合题意；联立方程得解得即点M的坐标为．

答案：D

2．如图，已知A（－2，0），B（2，0），C（0，2），E（－1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点，经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围是_________．

解析：从特殊位置考虑．如图，

因为点A（－2，0）关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为A1（2，4），所以kA1F＝4．又点E（－1，0）关于直线AC：y＝x＋2的对称点为E1（－2，1），点E1（－2，1）关于直线BC：x＋y＝2的对称点为E2（1，4），此时直线E2F的斜率不存在，所以kFD＞kA1F，即kFD∈（4，＋∞）．

答案：（4，＋∞）