高考数学一轮复习第八章第三节圆的方程课时作业理含解析北师大版

第三节 圆的方程

授课提示：对应学生用书第357页

[A组　基础保分练]

1．若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为（　　）

A．0　　　　　　　　　　 B．1

C．2  D．3

解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4（2a2＋a－1）＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜．又a∈，所以仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆．

答案：B

2．（2021·河北省九校第二次联考）圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为（　　）

A．x2＋y2－2x－3＝0  B．x2＋y2＋4x＝0

C．x2＋y2－4x＝0  D．x2＋y2＋2x－3＝0

解析：由题意设所求圆的方程为（x－m）2＋y2＝4（m>0），则＝2，解得m＝2或m＝－（舍去），故所求圆的方程为（x－2）2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0．

答案：C

3．已知圆C1：（x＋1）2＋（y－1）2＝1，圆C2与圆C1关于直线x－y－1＝0对称，则圆C2的方程为（　　）

A．（x＋2）2＋（y－2）2＝1  B．（x－2）2＋（y＋2）2＝1

C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝1  D．（x－2）2＋（y－2）2＝1

解析：圆C1的圆心坐标为（－1，1），半径为1，设圆C2的圆心坐标为（a，b），由题意得解得所以圆C2的圆心坐标为（2，－2），又两圆的半径相等，故圆C2的方程为（x－2）2＋（y＋2）2＝1．

答案：B

4．（2020·高考全国卷Ⅱ）若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3＝0的距离为（　　）

A．　　　 B． 

C．　　　　 D．

解析：由题意可知圆心在第一象限，设为（a，b）．

∵圆与两坐标轴均相切，∴a＝b，且半径r＝a，

∴圆的标准方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2．

∵点（2，1）在圆上，∴（2－a）2＋（1－a）2＝a2，

∴a2－6a＋5＝0，解得a＝1或a＝5．

当a＝1时，圆心坐标为（1，1），此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝；

当a＝5时，圆心坐标为（5，5），此时圆心到直线2x－y－3＝0的距离d＝＝．

综上，圆心到直线2x－y－3＝0的距离为．

答案：B

5．已知圆x2＋y2－2x＋6y＋5a＝0关于直线y＝x＋2b对称，则a－b的取值范围是（　　）

A．（－∞，0）  B．（－∞，4）

C．（－4，＋∞）  D．（4，＋∞）

解析：根据圆的一般方程中D2＋E2－4F＞0得（－2）2＋62－4×5a＞0，解得a＜2，由圆关于直线y＝x＋2b对称可知圆心（1，－3）在直线y＝x＋2b上，所以－3＝1＋2b，得b＝－2，故a－b＜4．

答案：B

6．（2021·河北五个一名校联盟一诊）已知点P为圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝4上一点，A（0，－6），B（4，0），则|＋|的最大值为（　　）

A．＋2  B．＋4

C．2＋4  D．2＋2

解析：取AB的中点D（2，－3），则＋＝2，|＋|＝|2|，||的最大值为圆心C（1，2）与D（2，－3）的距离d再加半径r，又d＝＝，所以d＋r＝＋2．

所以|＋|的最大值为2＋4．

答案：C

7．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于两点A（0，－4），B（0，－2），则圆C的方程为_________．

解析：圆心是AB的垂直平分线和2x－y－7＝0的交点，则圆心为E（2，－3），r＝|EA|＝＝，则圆的方程为（x－2）2＋（y＋3）2＝r2＝5．

答案：（x－2）2＋（y＋3）2＝5

8．（2021·银川模拟）已知圆x2＋y2＝4，B（1，1）为圆内一点，P，Q为圆上动点，若∠PBQ＝90°，则线段PQ中点的轨迹方程为_________．

解析：设PQ的中点为N（x′，y′）．在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，设O为坐标原点，连接ON（图略），则ON⊥PQ，所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，所以x′2＋y′2＋（x′－1）2＋（y′－1）2＝4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0．

答案：x2＋y2－x－y－1＝0

9．一圆经过A（4，2），B（－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距的和为2，求此圆的方程．

解析：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）．

令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以x1＋x2＝－D．

令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以y1＋y2＝－E．

由题意知－D－E＝2，即D＋E＋2＝0．①

又因为圆过点A，B，所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0．②

1＋9－D＋3E＋F＝0．③

解①②③组成的方程组得D＝－2，E＝0，F＝－12．

故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0．

10．已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4．

（1）求直线CD的方程；

（2）求圆P的方程．

解析：（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2），

则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），

即x＋y－3＝0．

（2）设圆心P（a，b），

则由点P在CD上得a＋b－3＝0．①

又因为直径|CD|＝4，

所以|PA|＝2，

所以（a＋1）2＋b2＝40．②

由①②解得或

所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）．

所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40．

[B组　能力提升练]

1．圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是（　　）

A．（x－）2＋（y－1）2＝4

B．（x－1）2＋（y－）2＝4

C．x2＋（y－2）2＝4

D．（x－）2＋（y－）2＝4

解析：设圆（x－2）2＋y2＝4的圆心关于直线y＝x对称的点的坐标为A（a，b），则∴a＝1，b＝，∴A（1，），从而所求圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝4．

答案：B

2．若直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：∵直线2ax－by＋2＝0（a，b∈R）始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，∴圆心（－1，2）在直线2ax－by＋2＝0上，可得－2a－2b＋2＝0，解得b＝1－a，∴ab＝a（1－a）＝－＋≤，当且仅当a＝时等号成立，因此ab的取值范围为．

答案：D

3．已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝2与y轴在第二象限所围区域的面积为S，直线y＝2x＋b将圆C分为两部分，其中一部分的面积也为S，则b＝（　　）

A．－  B．±

C．－  D．±

解析：结合图形（图略）及题意知，圆心C（1，2）到y轴的距离与到直线y＝2x＋b的距离相等，易知C（1，2）到y轴的距离为1，则＝1，解得b＝±．

答案：D

4．已知圆M：x2＋y2－2x＋a＝0，若AB为圆M的任意一条直径，且·＝－6（其中O为坐标原点），则圆M的半径为（　　）

A．  B．

C．  D．2

解析：圆M的标准方程为（x－1）2＋y2＝1－a，圆心M（1，0），则|OM|＝1，圆的半径r＝（a＜1）．因为AB为圆M的任意一条直径，所以＝－，且||＝||＝r，则·＝（＋）·（＋）＝（－）·（＋）＝2－2＝1－r2＝－6，所以r2＝7，得r＝，所以圆的半径为．

答案：C

5．（2021·临沂模拟）已知圆心在直线x－3y＝0上的圆C与y轴的正半轴相切，且截x轴所得的弦长为4，则圆C的标准方程为_________．

解析：设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（a＞0，b＞0），由题意可得解得所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y－1）2＝9．

答案：（x－3）2＋（y－1）2＝9

6．（2021·福建厦门模拟）在△ABC中，AB＝4，AC＝2，A＝，动点P在以点A为圆心，半径为1的圆上，则·的最小值为_________．

解析：如图，以点A为原点，AB边所在直线为x轴建立平面直角坐标系．

则A（0，0），B（4，0），C（1，），设P（x，y），则＝（4－x，－y），＝（1－x，－y），

所以·＝（4－x）（1－x）－y（－y）＝x2－5x＋y2－y＋4＝＋－3，其中＋表示圆A上的点P与点M之间距离|PM|的平方，由几何图形可得|PM|min＝|AM|－1＝－1＝－1，

所以（·）min＝（－1）2－3＝5－2．

答案：5－2

7．设m∈R，已知直线x＋my＝0过定点A，直线mx－y－2m＋4＝0过定点B，直线x＋my＝0和直线mx－y－2m＋4＝0交于点P．

（1）求动点P的轨迹方程；

（2）求|PA|·|PB|的最大值．

解析：（1）由已知可知，直线x＋my＝0和直线mx－y－2m＋4＝0分别过定点A（0，0），B（2，4），又m×1＋m×（－1）＝0，所以两直线垂直，故两直线的交点P（x，y）的轨迹为以AB为直径的圆，圆心为AB的中点（1，2），半径r＝＝，故动点P的轨迹方程为（x－1）2＋（y－2）2＝5．

（2）由（1）可知定点A（0，0），B（2，4），且两直线垂直，P为圆（x－1）2＋（y－2）2＝5上的点，则PA⊥PB，|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝22＋42＝20，则|PA|·|PB|≤＝10，当且仅当|PA|＝|PB|时等号成立，所以|PA|·|PB|的最大值为10．

[C组　创新应用练]

1．（2021·海口模拟）已知实数x，y满足x2＋y2＝4（y≥0），则m＝x＋y的取值范围是（　　）

A．（－2，4）  B．[－2，4]

C．[－4，4]  D．[－4，2]

解析：x2＋y2＝4（y≥0）表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线x＋y－m＝0的斜率为－，在y轴上的截距为m．当直线x＋y－m＝0过点（－2，0）时，m＝－2．设圆心（0，0）到直线x＋y－m＝0的距离为d，则即解得m∈[－2，4]．

答案：B

2．设命题p：（x，y，k∈R且k＞0）；命题q：（x－3）2＋y2≤25（x，y∈R）．若p是q的充分不必要条件，则k的取值范围是_________．

解析：如图所示：

命题p表示的范围是图中△ABC的内部（含边界），命题q表示的范围是以点（3，0）为圆心，5为半径的圆及圆内部分，p是q的充分不必要条件．实际上只需A，B，C三点都在圆内（或圆上）即可．

由题知B，

则

解得0＜k≤6．

答案：（0，6]

3．如果直线2ax－by＋14＝0（a＞0，b＞0）和函数f（x）＝mx＋1＋1（m＞0，m≠1）的图像恒过同一个定点，且该定点始终落在圆（x－a＋1）2＋（y＋b－2）2＝25的内部或圆上，那么的取值范围为_________．

解析：易知函数f（x）＝mx＋1＋1（m＞0，m≠1）的图像过定点（－1，2），

∴直线2ax－by＋14＝0（a＞0，b＞0）过定点（－1，2），∴a＋b＝7　①，又定点（－1，2）在圆（x－a＋1）2＋（y＋b－2）2＝25的内部或圆上，

∴a2＋b2≤25　②，由①②解得3≤a≤4，

∴≤≤，∴＝＝－1∈．

答案：