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高考数学一轮复习第八章第五节椭圆课时作业理含解析北师大版
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第五节 椭圆授课提示:对应学生用书第361页[A组 基础保分练]1.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的距离为( )A.4 B.3C.2 D.5解析:连接PF2(图略),由题意知,a=5,在△PF1F2中,|OM|=|PF2|=3,∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.答案:A2.过点A(3,-2)且与椭圆+=1有相同焦点的椭圆方程为( )A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=1解析:法一:设所求椭圆方程为+=1(a>b>0),则a2-b2=c2=5,且+=1,解方程组得a2=15,b2=10,故所求椭圆方程为+=1.法二:椭圆+=1的焦点坐标为(±,0),设所求椭圆方程为+=1(λ>0),将点A(3,-2)代入,得+=1(λ>0),解得λ=10或λ=-2(舍去),故所求椭圆方程为+=1.答案:A3.(2021·衡水模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,则=( )A. B.C. D.解析:因为e===,所以8a2=9b2,所以=.答案:D4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1 B.+y2=1C.+=1 D.+=1解析:由题意及椭圆的定义知4a=4,则a=,又==,所以c=1,所以b2=2,所以C的方程为+=1.答案:A5.(2020·石家庄质检)倾斜角为的直线经过椭圆+=1(a>b>0)的右焦点F,与椭圆交于A,B两点,且=2,则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.解析:由题可知,直线的方程为y=x-c,与椭圆方程联立得(b2+a2)y2+2b2cy-b4=0,由于直线过椭圆的右焦点,故必与椭圆有交点,则Δ>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则又=2,所以(c-x1,-y1)=2(x2-c,y2),所以-y1=2y2,可得所以=,所以e=.答案:B6.(2021·惠州调研)设F1,F2为椭圆+=1的两个焦点,点P在椭圆上,若线段PF1的中点在y轴上,则的值为( )A. B.C. D.解析:如图,设线段PF1的中点为M,因为O是F1F2的中点,所以OM∥PF2,可得PF2⊥x轴,可求得|PF2|=,|PF1|=2a-|PF2|=,=.答案:D7.(2021·郑州模拟)已知椭圆+=1(a>b>0)的右顶点为A(1,0),过其焦点且垂直于长轴的弦长为1,则椭圆的方程为 _________.解析:因为椭圆+=1的右顶点为A(1,0),所以b=1,焦点坐标为(0,c),因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1,所以=1,a=2,所以椭圆的方程为+x2=1.答案:+x2=18.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的中心是坐标原点O,左、右焦点分别为F1,F2,设P是椭圆C上一点,满足PF2⊥x轴,|PF2|=,椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆C相交于A,B两点,求△AOB的面积.解析:(1)由题意知,离心率e==,|PF2|==,得a=2,b=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)由条件可知F1(-,0),直线l:y=x+,联立直线l和椭圆C的方程,得消去y得5x2+8x+8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1·x2=,所以|y1-y2|=|x1-x2|==,所以S△AOB=·|y1-y2|·|OF1|=.9.已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率;(2)若=2,·=,求椭圆的方程.解析:(1)若∠F1AB=90°,则△AOF2为等腰直角三角形,所以有OA=OF2,即b=c.所以a=c,e==.(2)由题知A(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,设B(x,y).由=2,得(c,-b)=2(x-c,y),解得x=,y=-,即B.将B点坐标代入+=1,得+=1,即+=1,解得a2=3c2.①又由·=(-c,-b)·=,得b2-c2=1,即有a2-2c2=1.②由①②解得c2=1,a2=3,从而有b2=2.所以椭圆的方程为+=1.[B组 能力提升练]1.(2021·吉安模拟)如图,用与底面成45°角的平面截圆柱得一截口曲线,即椭圆,则该椭圆的离心率为( )A. B.C. D.解析:设圆柱的底面圆的直径为d,则椭圆的短轴长为d.因为截面与底面成45°角,所以椭圆的长轴长为d,所以椭圆的半焦距为 =,则e===.答案:A2.设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,以F1F2为直径的圆与椭圆C在第一象限的交点为P,则直线PF1的斜率为( )A. B.C. D.解析:因为e==,故可设a=3,c=,则b=2,S△PF1F2=b2tan=b2tan 45°=|PF1|·|PF2|=4,因为P在第一象限,所以|PF1|>|PF2|,又|PF1|+|PF2|=2a=6,故|PF1|=4,|PF2|=2,所以直线PF1的斜率kPF1==.答案:B3.已知椭圆C:+=1的左、右焦点分别为F1,F2,椭圆C上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点,则·的最大值为( )A. B.C. D.解析:由椭圆C:+=1可得a2=4,b2=3,c==1,可得F1(-1,0),F2(1,0),由AF2⊥F1F2,令x=1,得y=±× =±,不妨设A点坐标为.设P(m,n),则点P坐标满足+=1,又-≤n≤,则·=(m+1,n)·=n≤,可得·的最大值为.答案:B4.(2021·温州模拟)正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,若椭圆的焦点在正方形的内部,则椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析:设正方形的边长为2m,∵椭圆的焦点在正方形的内部,∴m>c.又正方形ABCD的四个顶点都在椭圆+=1(a>b>0)上,∴+=1>+=e2+,整理得e4-3e2+1>0,e2<=,∴0<e<.答案:B5.若F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为_________.解析:设点A在点B上方,F1(-c,0),F2(c,0),其中c=,则可设A(c,b2),B(x0,y0),由|AF1|=3|F1B|,可得=3,故即代入椭圆方程可得+b2=1,解得b2=,故椭圆方程为x2+=1.答案:x2+=16.设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任意一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|-|PF1|的最小值为_________.解析:由椭圆的方程可知F2(3,0),由椭圆的定义可得|PF1|=2a-|PF2|.所以|PM|-|PF1|=|PM|-(2a-|PF2|)=|PM|+|PF2|-2a≥|MF2|-2a,当且仅当M,P,F2三点共线时取得等号,又|MF2|==5,2a=10,所以|PM|-|PF1|≥5-10=-5,即|PM|-|PF1|的最小值为-5.答案:-57.(2020·高考全国卷Ⅱ)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合.C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点,若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.解析:(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=.不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,-;C,D的纵坐标分别为2c,-2c,故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=,即3×=2-2.解得=-2(舍去)或=.所以C1的离心率为.(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:+=1.设M(x0,y0),则+=1,y=4cx0,故+=1. ①因为C2的准线为x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得+=1,即c2-2c-3=0,解得c=-1(舍去)或c=3.所以C1的标准方程为+=1,C2的标准方程为y2=12x.[C组 创新应用练]1.有一个高为12 cm,底面圆半径为3 cm的圆柱形玻璃杯,杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半(玻璃杯厚度忽略不计),当玻璃杯倾斜时,杯中水面的形状为椭圆,则在杯中的水不溢出的前提下,椭圆的离心率的取值范围是( )A. B.C. D.解析:由题意知,当玻璃杯倾斜至杯中的水刚好不溢出时,杯中水面所形成的椭圆的离心率最大,易知此时椭圆的长轴长为=6,短轴长为6,所以椭圆的离心率e==,所以e∈.答案:C2.已知直线l:y=kx+2过椭圆+=1(a>b>0)的上顶点B和左焦点F,并被圆x2+y2=4截得的弦长为L,若L≥,则椭圆离心率e的取值范围是_________.解析:依题意,知b=2,kc=2.设圆心到直线l的距离为d,则L=2≥,解得d2≤.又因为d=,所以≤,解得k2≥.于是e2===,所以0<e2≤,解得0<e≤.答案:3.(2021·衡水模拟)“九天揽月”是中华民族的伟大梦想,我国探月工程的进展与实力举世瞩目.2019年,“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆,月球上“嫦娥四号”的着陆点,被命名为天河基地,如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图,圆形轨道距月球表面100千米,椭圆形轨道的一个焦点是月球球心,一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处,另一个长轴顶点距月球表面15千米,则椭圆形轨道的焦距为 千米.解析:设椭圆的长半轴长为a千米,半焦距为c千米,月球半径为r千米.由题意知解得2c=85.即椭圆形轨道的焦距为85千米.答案:85
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