高考数学一轮复习第八章第七节双曲线课时作业理含解析北师大版

这是一份高考数学一轮复习第八章第七节双曲线课时作业理含解析北师大版，共6页。
第七节 双曲线授课提示：对应学生用书第365页[A组　基础保分练]1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的（　　）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为方程＋＝1表示双曲线，所以（25－k）（k－9）<0，所以k<9或k>25，所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件．答案：A2．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线过点（－2b，a），则该双曲线的离心率为（　　）A．　　　　　　　 B．2C．3  D．解析：依题意得该双曲线的渐近线方程为y＝±x，则a＝－×（－2b），得a2＝2b2，得e＝＝＝．答案：D3．（2020·高考全国卷Ⅲ）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝（　　）A．1  B．2C．4  D．8解析：由得∴|F1F2|＝2c＝2a．∵△PF1F2中，F1P⊥F2P，∴|F1P|2＋|F2P|2＝|F1F2|2＝4c2＝20a2．不妨设P在C的右支上，则|F1P|－|F2P|＝2a．∵△PF1F2的面积为4，∴|F1P||F2P|＝4，即|F1P||F2P|＝8．∴（|F1P|－|F2P|）2＝|F1P|2＋|F2P|2－2|F1P||F2P|＝20a2－2×8＝4a2，解得a＝1．答案：A4．已知双曲线－＝1（b＞0）的右焦点为（3，0），则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（　　）A．  B．3C．5  D．4解析：由题意知a2＝4，4＋b2＝32，故b＝，所以渐近线的方程为y＝±x，则焦点到渐近线的距离d＝＝．答案：A5．已知直线l与双曲线C：x2－y2＝2的两条渐近线分别交于A，B两点，若AB的中点在该双曲线上，O为坐标原点，则△AOB的面积为（　　）A．  B．1C．2  D．4解析：由题意得，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，设A（x1，x1），B（x2，－x2），所以AB中点坐标为，所以－＝2，即x1x2＝2，所以S△AOB＝|OA|·|OB|＝|x1|·|x2|＝|x1x2|＝2．答案：C6．已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝（　　）A．  B．3C．2  D．4解析：因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°．不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°．又直线MN过点F（2，0），所以直线MN的方程为y＝－（x－2）．由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3．答案：B7．（2021·昆明调研）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＋2y＝0垂直，则双曲线C的离心率为_________．解析：易知直线x＋2y＝0的斜率为－，所以双曲线的一条渐近线的斜率为2，即＝2，所以双曲线C的离心率e＝＝ ＝．答案：8．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为_________．解析：由题设易知A1（－a，0），A2（a，0），B，C．∵A1B⊥A2C，∴·＝－1，整理得a＝b．∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，∴渐近线的斜率为±1．答案：±19．（2021·湛江模拟）已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（c，0）．（1）若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；（2）以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－，求双曲线的离心率．解析：（1）因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线方程为－＝1．（2）设点A的坐标为（x0，y0），所以直线AO的斜率满足·（－）＝－1，所以x0＝y0，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得3y＋y＝c2，即y0＝c，所以x0＝c，所以点A的坐标为，代入双曲线方程得－＝1，即b2c2－a2c2＝a2b2．②又因为a2＋b2＝c2，所以将b2＝c2－a2代入②式，整理得c4－2a2c2＋a4＝0，所以3－8＋4＝0，所以（3e2－2）（e2－2）＝0，因为e＞1，所以e＝，所以双曲线的离心率为．[B组　能力提升练]1．若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）上一点M（－3，4）关于一条渐近线的对称点恰为右焦点F2，则该双曲线的标准方程为（　　）A．－＝1  B．－＝1C．－＝1  D．－＝1解析：点M（－3，4）与双曲线的右焦点F2（c，0）关于渐近线y＝x对称，则得c＝5，＝2，所以b2＝25－a2＝4a2，所以a2＝5，b2＝20，则该双曲线的标准方程为－＝1．答案：A2．如图，F1，F2是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线与双曲线交于A，B两点．若|AB|∶|BF1|∶|AF1|＝3∶4∶5，则双曲线的渐近线方程为（　　）A．y＝±2x  B．y＝±2xC．y＝±x  D．y＝±x解析：由题意可设|AB|＝3k，则|BF1|＝4k，|AF1|＝5k，则易得BF1⊥BF2，由双曲线的定义可知|AF1|－|AF2|＝2a，则可得|AF2|＝5k－2a，|BF2|＝8k－2a，再根据双曲线的定义得|BF2|－|BF1|＝2a，得k＝a，则|BF1|＝4a，|BF2|＝6a．又|F1F2|＝2c，所以在直角三角形BF1F2中，16a2＋36a2＝4c2＝4（a2＋b2），则＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2x．答案：A3．（2021·厦门模拟）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（　　）A．y＝±x  B．y＝±xC．y＝±2x  D．y＝±x解析：设双曲线的另一个焦点为F′，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF′是矩形，所以S△ABF＝S△ABF′，即bc＝8，由可得y＝±，则|MN|＝＝2，即b2＝c，所以b＝2，c＝4，所以a＝＝2，所以C的渐近线方程为y＝±x．答案：B4．（2021·衡水模拟）过双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点F（，0）作斜率为k（k＜－1）的直线与双曲线过第一象限的渐近线垂直，且垂足为A，交另一条渐近线于点B，若S△BOF＝（O为坐标原点），则k的值为（　　）A．－  B．－2C．－  D．－解析：由题意得双曲线过第一象限的渐近线方程为y＝－x，过第二象限的渐近线的方程为y＝x，直线FB的方程为y＝k（x－），联立方程得⇒x＝，所以y＝，所以S△BOF＝|OF|×|yB|＝××＝．令＝，得k＝－2或k＝（舍）．答案：B5．已知点F2为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点，直线y＝kx交C于A，B两点，若∠AF2B＝，S△AF2B＝2，则C的虚轴长为_________．解析：设双曲线C的左焦点为F1，连接AF1，BF1（图略），由对称性可知四边形AF1BF2是平行四边形，所以S△AF1B＝2，∠F1AF2＝．设|AF1|＝r1，|AF2|＝r2，则4c2＝r＋r－2r1r2cos．又|r1－r2|＝2a，所以r1r2＝4b2．又S△AF2B＝S△AF1F2＝r1r2sin＝2，所以b2＝2，则该双曲线的虚轴长为2．答案：26．已知双曲线M：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线M交于A，B两点，与双曲线M的两条渐近线交于C，D两点．若|AB|＝|CD|，则双曲线M的离心率是_________．解析：设双曲线的右焦点为F（c，0），易知，|AB|＝．该双曲线的渐近线方程为y＝±x，当x＝c时，y＝±，所以|CD|＝．由|AB|＝|CD|，得＝×，即b＝c，所以a＝＝c，所以e＝＝．答案：[C组　创新应用练]1．（2021·广东四校联考）P是双曲线C：－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线．P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|＋|PQ|的最小值为（　　）A．1  B．2＋C．4＋  D．2＋1解析：设双曲线的右焦点为F2，连接PF2（图略），因为|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝2＋|PF2|，|PF1|＋|PQ|＝2＋|PF2|＋|PQ|，当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，|PF2|＋|PQ|最小，且最小值为点F2到直线l的距离．由题意可得直线l的方程为y＝±x，焦点F2（，0），点F2到直线l的距离d＝1，故|PQ|＋|PF1|的最小值为2＋1．答案：D2．已知双曲线C：－y2＝1的左焦点为F，过F的直线l交双曲线C的左、右两支分别于点Q，P．若|FQ|＝t|QP|，则实数t的取值范围是（　　）A．  B．C．  D．解析：由条件知F（－2，0）．设P（x0，y0），Q（x1，y1），则＝（x1＋2，y1），＝（x0－x1，y0－y1），则（x1＋2，y1）＝t（x0－x1，y0－y1），所以x1＝，y1＝．因为点P（x0，y0），Q（x1，y1）都在双曲线C上，所以消去y0，得x0＝．易知x0≥，所以≥，易知t＞0，所以0＜t≤，即实数t的取值范围是．答案：A3．一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（　　）A．  B．C．  D．解析：设|MB|＝t，则由题意，可得|MO|＝12－t，|MA|＝8－t，有|MO|－|MA|＝4＜|AO|＝10，由双曲线的定义可得动点M的轨迹为双曲线的一支，且双曲线的焦距2c＝10，实轴长2a＝4，即c＝5，a＝2，所以e＝＝．答案：D