高考数学一轮复习第九章第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时作业理含解析北师大版

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第一节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理授课提示：对应学生用书第375页[A组　基础保分练]1．（2021·福州模拟）有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（　　）A．8种　　　　　　　　　 B．9种C．10种  D．11种解析：设四位监考教师分别为A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理共有3＋3＋3＝9（种）．答案：B2．（2021·武汉模拟）在一块并排10垄的田地中，选择2垄分别种植A，B两种作物，每种作物种植一垄．为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则不同的选垄方法有（　　）A．2种  B．6种C．12种  D．14种解析：分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步计数原理，不同的选垄方法有6×2＝12（种）．答案：C3．从1，3，5，7，9这五个数中取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是（　　）A．9  B．10C．18  D．20解析：根据分步乘法原理得a，b的取值共有5×4＝20种取法，又＝，＝，所以lg a－lg b的不同值的个数是20－2＝18．答案：C4．（2021·衡水二中检测）用红、黄、蓝三种颜色给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是（　　）A．12  B．24C．30  D．36解析：按顺序涂色，第一个圆有三种选择，第二个圆有二种选择，若前三个圆用了三种颜色，则第三个圆有一种选择，后三个圆也用了三种颜色，共有3×2×1×C×C＝24（种），若前三个圆用了两种颜色，则后三个圆也用了两种颜色，所以共有3×2＝6（种）．综上可得不同的涂色方案的种数是30．答案：C5．某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择（数字可以重复），有车主第一个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有（　　）A．180种  B．360种C．720种  D．960种解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960（种）．答案：D6．从集合{1，2，3，4，…，10}中，选出5个数组成的子集，使得这5个数中任意两个数的和都不等于11，则这样的子集有（　　）A．32个  B．34个C．36个  D．38个解析：先把数字分成5组：{1，10}，{2，9}，{3，8}，{4，7}，{5，6}，由于选出的5个数中，任意两个数的和都不等于11，所以从每组中任选一个数字即可．故共可组成25＝32（个）．答案：A7．从0，1，2，3，4这5个数字中任取3个组成三位数，其中奇数的个数是_________．解析：从1，3中取一个排个位，故排个位有2种方法；排百位不能是0，可以从另外3个数中取一个，有3种方法；排十位有3种方法，故所求奇数的个数为3×3×2＝18．答案：188．某班一天上午有4节课，每节都需要安排1名教师去上课，现从A，B，C，D，E，F 6名教师中安排4人分别上一节课，第一节课只能从A，B两人中安排一人，第四节课只能从A，C两人中安排一人，则不同的安排方案共有多少种？解析：①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12种排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24种排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36（种）．9．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？（六名同学不一定都能参加）（1）每人只参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每项限报一人，但每人参加的项目不限．解析：（1）每人都可以从三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有36＝729（种）．（2）每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有6×5×4＝120（种）．（3）每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六名同学中选出一人参赛，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有63＝216（种）．[B组　能力提升练]1．在某校举行的羽毛球两人决赛中，采用5局3胜制的比赛规则，先赢3局者获胜，直到决出胜负为止．若甲、乙两名同学参加比赛，则所有可能出现的情形（个人输赢局次的不同视为不同情形）共有（　　）A．6种  B．12种C．18种  D．20种解析：分三种情况：恰好打3局（一人赢3局），有2种情形；恰好打4局（一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢），共有2×3＝6种情形；恰好打5局（一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢），共有2×＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20（种）．答案：D2．一个旅游景区的游览线路如图所示，某人从P点处进，Q点处出，沿图中线路游览A，B，C三个景点及沿途风景，则不重复（除交汇点O外）的不同游览线路有（　　）A．6种  B．8种C．12种  D．48种解析：由环形线路知，每个景点都有两种进出方式，以分步计数方法即可求出不同游览的线路总数．游览每一个景点所走环形路线都有2个出入口，1．3个景点选一个先游览有C种选法，2种进出方式，故有2C种；2．2个景点选第二个游览有C种选法，有2种进出方式，故有2C种；3．最后一个景点有2种进出方式；∴综上，一共有8CC＝48（种）．答案：D3．（2021·定州模拟）将“福”“禄”“寿”填入到如图所示的4×4小方格中，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有（　　）A．288种  B．144种C．576种  D．96种解析：依题意可分为以下3步：（1）先从16个格子中任选一格放入第一个汉字，有16种方法；（2）任意的两个汉字既不同行也不同列，第二个汉字只有9个格子可以放，有9种方法；（3）第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法．根据分步乘法计数原理可得不同的填写方法有16×9×4＝576（种）．答案：C4．如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是（　　）A．48  B．18C．24  D．36解析：分类讨论：第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12＝24（个）；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个．所以正方体中“正交线面对”共有24＋12＝36（个）．答案：D5．（2021·衡水中学模拟）已知一个公园的形状如图所示，现有3种不同的植物要种在此公园的A，B，C，D，E这五个区域内，要求有公共边界的两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有　　　　　种．解析：先种植A，B，C三个区域，有3×2×1＝6种方法．①A，E相同时：D有1种种法，此时共有6×1×1＝6种方法；②A，E不同时：D有2种种法，此时共有6×1×2＝12种方法．由分类加法计数原理知共有6＋12＝18种不同的种法．答案：18[C组　创新应用练]1．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是（　　）A．60  B．48C．36  D．24解析：长方体的6个表面构成的“平行线面组”个数为6×6＝36，另含4个顶点的6个面（非表面）构成的“平行线面组”个数为6×2＝12，故符合条件的“平行线面组”的个数是36＋12＝48．答案：B2．从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）＝ax2＋bx＋c的系数，则可组成　　　　　个不同的二次函数，其中偶函数有　　　　　个．（用数字作答）解析：一个二次函数对应着a，b，c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18（个）二次函数．若二次函数为偶函数，则b＝0，同上可知共有3×2＝6个偶函数．答案：18　63．（2021·镇江模拟）回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249等．显然2位回文数有9个：11，22，33，…，99．3位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999．则：（1）4位回文数有　　　　　个；（2）2n＋1（n∈N＋）位回文数有　　　　　个．解析：（1）4位回文数相当于填4个方格，首尾相同，且不为0，共9种填法；中间两位一样，有10种填法．共计9×10＝90种填法，即4位回文数有90个．（2）根据回文数的定义，此问题也可以转化成填方格．由计数原理，共有9×10n种填法．答案：（1）90　（2）9×10n