高中数学人教版新课标A必修21.3 空间几何体的表面积与体积随堂练习题

1.3.2　球的体积和表面积

课后篇巩固提升

1.一个正方体表面积与一个球表面积相等,那么它们的体积比是(　　)

A. B. 

C. D.

解析设正方体的棱长为a,球的半径为R,由6a2=4πR2得.

答案A

2.三棱锥P-ABC中,AB=BC=,AC=6,PC⊥平面ABC,PC=2,则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)

A.π B.π 

C.π D.π

解析由题可知△ABC中AC边上的高为,球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D,设DA=DB=DC=x,所以x2=32+(-x)2,

解得x=,所以R2=x2+2=+1=(其中R为三棱锥外接球的半径),所以外接球的表面积S=4πR2=π.

答案D

3.如图,网格纸上正方形小格的边长为1,图中粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积S为(　　)

A.17π+3π B.20π+5π

C.22π D.17π+5π

解析由已知可得该几何体是一个圆台和一个半球形成的组合体.

圆台的上底面半径r=2,下底面半径R=3,母线l=,所以圆台的侧面积为π(R+r)l=5π,圆台的下底面面积为πR2=9π.

又半球的半径为2,所以半球面的面积为2π·22=8π.

所以组合体的表面积S=5π+9π+8π=17π+5π.故选D.

答案D

4.用与球心距离为1的平面去截球,所得截面面积为π,则球的体积为(　　)

A. B. 

C.8π D.

解析设球的半径为R,截面圆的半径为r,则截面圆的半径为r=1,因此球的半径R=,球的体积为πR3=.

答案D

5.圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是　　　　　. 

解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),容积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.

答案4

6.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为　　　　　. 

解析作经过球心的截面(如图),

O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.

答案

7.直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB⊥BC,AB=3,BC=4,AA1=5,若三棱柱的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为　　　　　. 

解析取AC,A1C1的中点分别是D,D1,则三棱柱外接球的球心O为DD1的中点,半径R=OA=,表面积为4πR2=50π.

答案50π

8.一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面,球心为上底面的中心),则该器皿的表面积为　　　　. 

解析如图,该器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积,再加上半径为1的半球的表面积,∴该器皿的表面积为:

S=6×(3×3)-π×12+×(4π×12)=54-π+2π=π+54.

答案π+54

9.(选做题)在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.

解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.

连接CO1,CE,如图.

则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.

∵AB=3,∴O1C=3.

在Rt△SO1C中,SC=2,∴SO1=.

在Rt△SCE中,Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,∴SE==4.∴球半径R=2.∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.