高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系综合训练题

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

课后篇巩固提升

基础巩固

1.分别在两个平面内的两条直线的位置关系是(　　)

A.异面 B.平行

C.相交 D.以上都有可能

解析如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AD1在平面AA1D1D中,直线BB1,BC1分别在平面BB1C1C中,但AD1∥BC1,AD1与BB1异面,又直线AB在平面ABCD中,显然AD1∩AB=A.

答案D

2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 (　　)

A.相交 B.异面

C.异面或相交 D.平行

解析如图有两种情况.

答案C

3.下列命题中,正确的结论有(　　)

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等;

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等;

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补;

④如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析①中,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故①错误;②中,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角或直角相等,故②正确;③中,如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,两角相等或互补,故③正确;④中,如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故④正确;故选C.

答案C

4.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是 (　　)

A.平行 B.相交

C.异面 D.相交或异面

解析画出图形,得到结论.

如图(1),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是相交关系.如图(2),分别与异面直线a,b平行的两条直线c和d是异面关系.综上可知,应选D.

答案D

5.

如图所示,在三棱锥S-MNP中,E,F,G,H分别是棱SN,SP,MN,MP的中点,则EF与HG的位置关系是 (　　)

A.平行

B.相交

C.异面

D.平行或异面

解析∵E,F分别是SN和SP的中点,∴EF∥PN.

同理可证HG∥PN,∴EF∥HG.

答案A

6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系:

(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是　　　　　; 

(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是　　　　　; 

(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是　　　　　; 

(4)直线AB与直线B1C的位置关系是　　　　　. 

解析(1)在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,

所以四边形A1BCD1为平行四边形,

所以A1B∥D1C.

(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.

(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.

(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.

答案(1)平行　(2)异面　(3)相交　(4)异面

7.若∠AOB=120°,直线a∥OA,a与OB为异面直线,则a和OB所成的角的大小为　　　　　. 

解析根据等角定理及两条直线所成角的定义知,a与OB所成的角为60°.

答案60°

8.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH所成的角等于　　　　　. 

解析取A1B1中点M,连接MG,MH,则MG∥EF,MG与GH所成的角等于EF与GH所成的角.易知△MGH为正三角形,∠MGH=60°,∴EF与GH所成的角等于60°.

答案60°

9.在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,E1,F1分别是棱AB,AD,B1C1,C1D1的中点,求证:

(1)EF?E1F1;

(2)∠EA1F=∠E1CF1.

证明(1)连接BD,B1D1,在△ABD中,因为E,F分别为AB,AD的中点,

所以EF?BD,同理E1F1=B1D1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AA1?DD1,AA1?BB1,所以B1B?DD1,所以四边形BDD1B1是平行四边形,所以BD?B1D1,所以EF?E1F1.

(2)取A1B1的中点M,连接BM,F1M,因为MF1?B1C1,B1C1?BC,所以MF1?BC,

所以四边形BCF1M是平行四边形,所以BM∥CF1,因为A1M?EB,所以四边形EBMA1是平行四边形,所以A1E∥MB,所以A1E∥F1C,同理可证:A1F∥E1C,又∠EA1F与∠F1CE1两边的方向均相反,所以∠EA1F=∠E1CF1.

10.在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,求EF和AB所成的角.

解取BD的中点G,连接EG,FG,

∵E,F分别为BC,AD的中点,∴EG?CD,GF?AB.

∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.

∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.

又AB与CD所成角为30°,

∴∠EGF=30°或150°.

∵∠GFE就是EF与AB所成的角,

∴EF与AB所成角为75°或15°.

能力提升

1.正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为AA1,CC1的中点,则四边形D1PBQ是(　　)

A.正方形 B.菱形

C.矩形 D.空间四边形

解析设正方体棱长为2,直接计算可知四边形D1PBQ各边均为,又四边形D1PBQ是平行四边形,所以四边形D1PBQ是菱形.

答案B

2.若∠AOB=∠A1O1B1,且OA∥O1A1,OA与O1A1的方向相同,则下列结论中正确的是(　　)

A.OB∥O1B1且方向相同 B.OB∥O1B1

C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行

解析等角定理的实质是角的平移,其逆命题不一定成立,OB与O1B1有可能平行,也可能不在同一平面内,位置关系不确定.

答案D

3.如果两条异面直线称为“一对”,那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)

A.12对 B.24对 C.36对 D.48对

解析如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与棱AB异面的有CC1,DD1,B1C1,A1D1共4对,正方体ABCD-A1B1C1D1有12条棱,排除两棱的重复计算,异面直线共有12×2=24对.所以B选项是正确的.

答案B

4.

如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为　　　　　. 

解析取CD1的中点G,连接EG,DG.

∵E是BD1的中点,∴EG∥BC,EG=BC.

∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,

∴DF∥BC,DF=BC,∴EG∥DF,EG=DF,

∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,

∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,

∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,

∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.

答案90°

5.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:

①AB⊥EF;②AB与CM所成的角为60°;③EF与MN是异面直线;④MN∥CD.

以上结论中正确结论的序号为　　　　　. 

解析把正方体平面展开图还原到原来的正方体,如图所示,AB⊥EF,EF与MN是异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,只有①③正确.

答案①③

6.空间四边形ABCD中,AB=CD且AB与CD所成的角为60°,E、F分别是BC、AD的中点,求EF与AB所成角的大小.

解取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,GF∥CD,

且由AB=CD知EG=FG,

∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角,

∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.

∵AB与CD所成的角为60°,∴∠EGF=60°或120°.

由EG=FG知△EFG为等腰三角形,

当∠EGF=60°时,∠GEF=60°;

当∠EGF=120°时,∠GEF=30°.

故EF与AB所成的角为60°或30°.

7.如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大?最大面积是多少?

解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).∴S四边形EFGH=EF×EH×sin60°=ax×a(1-x)×a2×(-x2+x)=a2×.当x=时,Smax=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.