高中数学人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后测评

2.2　直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1~2.2.2　直线与平面平行的判定　平面与平面平行的判定

课后篇巩固提升

基础巩固

1.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是(　　)

A.相交 B.b∥α

C.b⊂α D.b∥α或b⊂α

解析由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b⊂α.

答案D

2.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是(　　)

A.l∥β,l⊂α⇒α∥β

B.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α⇒α∥β

C.l∥m,l⊂α,m⊂β⇒α∥β

D.l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M⇒α∥β

解析选项A中,l∥β,l⊂α,α与β可能相交.A错误;选项B中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,α与β可能相交.B错误;选项C中,l∥m,l⊂α,m⊂β,α与β可能相交.C错误;选项D中,l∥β,m∥β,l⊂α,m⊂α,l∩m=M,满足面面平行的判定定理.D正确.故选D.

答案D

3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1B1、B1C1、BB1的中点,给出下列四个推断:

①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;

③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1.

其中推断正确的序号是(　　)

A.①③ B.①④ C.②③ D.②④

解析FG∥BC1∥AD1⇒FG∥平面AA1D1D;EF与C1D1相交,所以②错;④错;FG∥BC1⇒FG∥平面BC1D1.

答案A

4.平面α∥β的条件可能是(　　)

A.α内有无穷多条直线与β平行

B.直线a∥α,a∥β

C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a∥β,b∥α

D.α内的任何直线都与β平行

解析如图①,α内可有无数条直线与β平行,但α与β相交,选项A错.

如图②,a∥α,a∥β,但α与β相交,选项B错.

如图③,a⊂α,b⊂β,a∥β,b∥α,但α与β相交,选项C错.故选D.

答案D

5.

如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是　　　　　. 

解析∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF∥BD,又BD⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,

∴BD∥平面EFG.

同理可得AC∥平面EFG.

很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.

答案BD,AC

6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是DD1的中点,则A1C1与平面ACE的位置关系为　　　　. 

解析∵A1C1∥AC,A1C1⊄平面ACE,AC⊂平面ACE,∴A1C1∥平面ACE.

答案平行

7.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:

①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.

其中正确结论的序号是　　　　　. 

解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.

答案①②③④

8.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.

证明如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.

∵点D是AB的中点,

∴OD∥BC1.

又∵OD⊂平面CA1D,BC1⊄平面CA1D,∴BC1∥平面CA1D.

9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N、P分别是AD1、BD和B1C的中点.求证:

(1)MN∥平面CC1D1D;

(2)平面MNP∥平面CC1D1D.

证明(1)连接AC,CD1.因为四边形ABCD为正方形,N为BD中点,

所以N为AC中点.又因为M为AD1中点,所以MN∥CD1.

因为MN⊄平面CC1D1D,CD1⊂平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D.

(2)连接BC1,C1D.因为四边形BB1C1C为正方形,P为B1C中点,所以P为BC1中点,又因为N为BD中点,所以PN∥C1D.

因为PN⊄平面CC1D1D,C1D⊂平面CC1D1D,所以PN∥平面CC1D1D,

由(1)知MN∥平面CC1D1D,又MN∩PN=N,

所以平面MNP∥平面CC1D1D.

能力提升

1.如图,在四面体ABCD中,若M,N,P分别为线段AB,BC,CD的中点,则直线BD与平面MNP的位置关系为(　　)

A.平行 B.相交

C.BD⊂平面MNP D.以上都不对

解析显然BD⊄平面MNP,

∵N,P分别为BC,DC中点,

∴NP∥BD,而NP⊂平面MNP,∴BD∥平面MNP.

答案A

2.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有(　　)

①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④c∥α,a∥c⇒a∥α;⑤a∥γ,α∥γ⇒a∥α.

A.1个 B.2个 C.3个 D.5个

解析由公理4知①正确;②错误,a与b可能相交;③错误,α与β可能相交;④错误,可能有a⊂α;⑤错误,可能有a⊂α.

答案A

3.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段,则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是(　　)

A.平行 B.相交

C.AC在此平面内 D.平行或相交

解析把这三条线段放在正方体内如图,

显然AC∥EF,AC⊄平面EFG,EF⊂平面EFG,故AC∥平面EFG.故选A.

答案A

4.考查①②两个命题,在“　　　　　”处都缺少同一个条件,补上这个条件使其构成真命题(其中l,m为直线,α为平面),则此条件为　　　　　. 

①⇒l∥α;②⇒l∥α.

解析①由线面平行的判定定理知l⊄α;②易知l⊄α.

答案l⊄α

5.在如图所示的几何体中,三个侧面AA1B1B,BB1C1C,CC1A1A都是平行四边形,则平面ABC与平面A1B1C1平行吗?　　　　　.(填“是”或“否”) 

解析因为侧面AA1B1B是平行四边形,所以AB∥A1B1,因为AB⊄平面A1B1C1,A1B1⊂平面A1B1C1,所以AB∥平面A1B1C1.

同理可证:BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,

所以平面ABC∥平面A1B1C1.

答案是

6.下列四个正方体图形中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出AB∥平面MNP的图形的序号是　　　　　(写出所有符合要求的图形序号). 

解析①设MP中点为O,连接NO(图略).易得AB∥NO,

又AB⊄平面MNP,

所以AB∥平面MNP.

②若下底面中心为O,易知NO∥AB,NO⊄平面MNP,

所以AB与平面MNP不平行.

③易知AB∥MP,所以AB∥平面MNP.

④易知存在一直线MC∥AB,且MC⊄平面MNP,

所以AB与平面MNP不平行.

答案①③

7.

如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?

解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.

证明如下:

∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,∴QB∥PA.

∵P,O分别为DD1,DB的中点,

∴D1B∥PO.

∴D1B∥平面PAO,QB∥平面PAO.

又D1B∩QB=B,∴平面D1BQ∥平面PAO.

8.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是边长为2的正三角形,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,当点M在何位置时,BM∥平面AEF.

解如图,取EC的中点P,AC的中点Q,连接PQ,PB,BQ,则PQ∥AE.

因为EC=2FB=2,所以PE=BF.所以四边形BFEP为平行四边形,所以PB∥EF.

又AE,EF⊂平面AEF,PQ,PB⊄平面AEF,

所以PQ∥平面AEF,PB∥平面AEF.

又PQ∩PB=P,所以平面PBQ∥平面AEF.

又BQ⊂平面PBQ,所以BQ∥平面AEF.

故点Q即为所求的点M,

即点M为AC的中点时,BM∥平面AEF.