高中数学人教版新课标A必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系精练

2.3　直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1　直线与平面垂直的判定

课后篇巩固提升

1.已知m,n是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下面命题正确的是(　　)

A.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B.若m⊥α,n⊥α,则m∥n

C.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若m∥α,m∥β,则α∥β

解析选项A中,α⊥γ,β⊥γ⇒α与β平行或相交,故A不正确;

选项C中,m∥α,n∥α⇒m与n平行、相交或异面,

故C不正确;

选项D中,m∥α,m∥β⇒α与β平行或相交,故D不正确.故选B.

答案B

2.如图所示,定点A和B都在平面α内,定点P∉α,PB⊥α,C是平面α内异于A和B的动点,且PC⊥AC,则△ABC为(　　)

A.锐角三角形 

B.直角三角形

C.钝角三角形 

D.无法确定

解析易证AC⊥面PBC,所以AC⊥BC.

答案B

3.如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点,现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,那么,在这个空间图形中必有(　　)

A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFH

C.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF

解析原题图中AD⊥DF,AB⊥BE,所以折起后AH⊥FH,AH⊥EH,FH∩EH=H,所以AH⊥平面EFH.

答案A

4.如果PA,PB,PC两两垂直,那么点P在平面ABC内的射影一定是△ABC的(　　)

A.重心 B.内心 C.外心 D.垂心

解析如图,由PA,PB,PC两两互相垂直,可得AP⊥平面PBC,BP⊥平面PAC,CP⊥平面PAB,

所以BC⊥OA,AB⊥OC,AC⊥OB,

所以点O是△ABC三条高的交点,即点O是△ABC的垂心,故选D.

答案D

5.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析如图,连接AC.

∵PA⊥平面ABCD,

∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=,PA=,

∴tan∠PCA=.

∴∠PCA=60°.

答案C

6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱AA1和AB上的点,若∠B1MN是直角,则∠C1MN=　　　　. 

解析∵B1C1⊥平面ABB1A1,

∴B1C1⊥MN.

又∵MN⊥B1M,B1C1∩B1M=B1,

∴MN⊥平面C1B1M.

又C1M⊂平面C1B1M,

∴MN⊥C1M,

∴∠C1MN=90°.

答案90°

7.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为　　　　. 

解析如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.

∵底面△A'B'C'是正三角形,

∴C'D⊥A'B'.

∵AA'⊥底面ABC,

∴A'A⊥C'D.

又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',

故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成的角.

等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,

在Rt△BB'C'中,BC'=,

故直线BC'与平面ABB'A'所成的角的正弦值为.

答案

8.如图所示,PA⊥平面ABC,△ABC中BC⊥AC,则图中直角三角形的个数为　　　　　　. 

解析⇒BC⊥平面PAC⇒BC⊥PC,

∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.

答案4

9.如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件　　　　　　　　时,有A1C⊥B1D1.(注:填上你认为正确的一种即可,不必考虑所有可能的情形) 

解析要找底面四边形ABCD所满足的条件,使A1C⊥B1D1,可从结论A1C⊥B1D1入手.

∵A1C⊥B1D1,BD∥B1D1,∴A1C⊥BD.

又∵AA1⊥BD,而AA1∩A1C=A1,AA1⊂平面A1AC,A1C⊂平面A1AC,∴BD⊥平面A1AC,∴BD⊥AC.此题答案不唯一.

答案BD⊥AC(答案不唯一)

10.如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论错误的是　　　　.(填序号) 

①BD∥平面CB1D1;

②AC1⊥BD;

③AC1⊥平面CB1D1;

④异面直线AD与CB1所成的角为60°.

解析由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以①正确;

因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,

所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD.所以②正确;

可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,

所以AC1⊥平面CB1D1,所以③正确;

由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以④错误.

答案④

11.如图所示,四边形ABCD为正方形,SA垂直于四边形ABCD所在的平面,过点A且垂直于SC的平面分别交SB,SC,SD于点E,F,G.

求证:AE⊥SB,AG⊥SD.

证明因为SA⊥平面ABCD,

所以SA⊥BC.

又BC⊥AB,SA∩AB=A,所以BC⊥平面SAB.

又AE⊂平面SAB,所以BC⊥AE.

因为SC⊥平面AEFG,所以SC⊥AE.

又BC∩SC=C,所以AE⊥平面SBC,

所以AE⊥SB.同理可证AG⊥SD.

12.

如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.

(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;

(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.

(1)证明直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,

∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,

∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,

∴AD⊥平面BCC1B1.

(2)解连接C1D.由(1)AD⊥平面BCC1B1,

则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成的角.

在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,

即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.