人教版新课标A必修22.1 空间点、直线、平面之间的位置关系课后测评

2.3.3~2.3.4　直线与平面垂直的性质　平面与平面垂直的性质

课后篇巩固提升

基础巩固

1.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是(　　)

A.相交 B.异面 C.平行 D.不确定

解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,

所以l⊥平面ABC.

同理可证,m⊥平面ABC,

所以l∥m,故选C.

答案C

2.已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,在平面ABB1A1上任取一点M,作ME⊥AB于E,则(　　)

A.ME⊥平面ABCD B.ME⊂平面ABCD

C.ME∥平面ABCD D.以上都有可能

解析由于平面ABB1B1A1⊥平面ABCD,平面ABB1A1∩平面ABCD=AB,ME⊥AB,ME⊂平面ABB1A1,所以ME⊥平面ABCD.

答案A

3.设l,m,n为三条不同的直线,α,β为两个不同的平面,下列命题中正确的个数是(　　)

①若l⊥α,m∥β,α⊥β,则l⊥m;②若m⊂α,n⊂α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α;③若l∥m,m∥n,l⊥α,则n⊥α;④若l∥m,m⊥α,n⊥β,α∥β,则l∥n.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析对于①,直线l,m可能互相平行,①不正确;对于②,直线m,n可能是平行直线,此时不能得知l⊥α,②不正确;对于③,由定理“平行于同一条直线的两条直线平行”与“若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面”得知,③正确;对于④,由l∥m,m⊥α得l⊥α,由n⊥β,α∥β得n⊥α,因此有l∥n,④正确.综上所述,其中命题正确的个数是2.

答案B

4.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是(　　)

A.一条线段 B.一条直线

C.一个圆 D.一个圆,但要去掉两个点

解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC⊂平面PAC,∴AC⊥平面PBC.

又BC⊂平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.

∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.

答案D

5.设α、β、γ为两两不重合的平面,l、m、n为两两不重合的直线,给出下列四个命题,①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;③若α∥β,l⊂α,则l∥β;④若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,则m∥n.其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析①α⊥γ,β⊥γ,则α与β可能相交,如两个平面立在第三个平面上(一本展开的书立在课桌上).

②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α与β可能相交.

③正确.④正确.

答案B

6.

在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件　　　　　时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可) 

解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.

答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)

7.如图,A、B、C、D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,则CD=　　　　　　　. 

解析取AB的中点E,连接DE,CE,

因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时,

因为平面ADB∩平面ABC=AB,

所以DE⊥平面ABC.

又CE⊂平面ABC,

可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,

在Rt△DEC中,CD==2.

答案2

8.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E,F分别是AP,AD的中点.

求证:(1)直线EF∥平面PCD;

(2)平面BEF⊥平面PAD.

证明(1)如图,在△PAD中,因为E,F分别为AP,AD的中点,所以EF∥PD.

又EF⊄平面PCD,PD⊂平面PCD,

所以直线EF∥平面PCD.

(2)连接BD.因为AB=AD,∠BAD=60°,所以△ABD是正三角形.因为F是AD的中点,所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面ABCD,BF⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以BF⊥平面PAD.

又因为BF⊂平面BEF,所以平面BEF⊥平面PAD.

9.

如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,PB=BC=CA=4,∠BCA=90°,E为PC中点.

(1)求证:BE⊥平面PAC;

(2)求二面角E-AB-C的正弦值.

(1)证明∵PB⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AC⊥PB.

∵∠BCA=90°,∴AC⊥CB,

而CB⊂平面PBC,PB⊂平面PBC,PB∩CB=B,

∴AC⊥平面PBC.又BE⊂平面PBC,∴AC⊥BE.

∵E为PC中点,且PB=BC,∴BE⊥PC.

又PC⊂平面PAC,AC⊂平面PBC,PC∩AC=C,

∴BE⊥平面PAC.

(2)解过E作EF⊥BC,F为垂足,则EF∥PB.

∵PB⊥平面ABC,

∴EF⊥平面ABC.

∵AB⊂平面ABC,

∴EF⊥AB.

过F作FM⊥AB,M为垂足,连接EM.

∵EF∩FM=F,∴AB⊥平面EFM.

∵EM⊂平面EFM,∴AB⊥EM.

∴∠EMF为二面角E-AB-C的平面角.

在Rt△EFM中,EF=PB=2,FM=FBsinB=,

EM=.

sin∠EMF=,

故二面角E-AB-C的正弦值为.

能力提升

1.设直线m,n和平面α,β.下列四个命题中,正确的是(　　)

A.若m∥α,n∥α,则m∥n

B.若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β

C.若α⊥β,m⊂α,则m⊥β

D.若α⊥β,m⊥β,m⊄α,则m∥α

解析选项A中,m∥α,n∥α,m与n可能平行,可能相交,也可能异面;选项B中,m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,α与β可能平行,可能相交;选项C中,α⊥β,m⊂α,m与β可能垂直,可能斜交.

答案D

2.如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则点C1在平面ABC上的射影H必在(　　)

A.直线AB上 B.直线BC上

C.直线AC上 D.△ABC的内部

解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,

所以AC⊥平面ABC1.

因为AC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ABC1.

又平面ABC∩平面ABC1=AB,

所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,

即点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上.

答案A

3.在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠PCA=90°,△ABC是边长为4的正三角形,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为(　　)

A.2 B.2 

C.4 D.4

解析连接CM,则由题意知PC⊥平面ABC,可得PC⊥CM,

所以PM=,要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可,在△ABC中,当CM⊥AB时CM有最小值,此时有CM=4×=2,

所以PM的最小值为2.

答案B

4.如图,四棱锥S-ABCD的底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论:

①AC⊥SB;

②AB∥平面SCD;

③AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角;

④二面角B-SD-C的大小为45°.

其中正确结论的序号是　　　　. 

解析由题意,AC⊥平面BDS,所以AC⊥SB,故①正确;AB∥CD,所以AB∥平面SCD,故②正确;AB与SC所成的角是∠SCD,DC与SA所成的角是∠SAB,两者不相等,故③错误;二面角B-SD-C的平面角是∠BDC,是45°,故④正确.

所以正确的序号是①②④.

答案①②④

5.

如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　. 

解析取AB的中点E,连接DE,CE,

因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.

当平面ADB⊥平面ABC时,

因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.

可知DE⊥CE.

由已知可得DE=,EC=1,

在Rt△DEC中,CD==2.

答案2

6.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是　　　　　. 

解析过A作AO⊥BD于点O,

∵平面ABD⊥平面BCD,

∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.

∵∠BAD=90°,AB=AD,

∴∠ADO=45°.

答案45°

7.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°,N是PB的中点,截面DAN交PC于M.

(1)求PB与平面ABCD所成角的大小;

(2)求证:PB⊥平面ADMN.

解(1)取AD中点O,连接PO、BO、BD.

∵△PAD是正三角形,

∴PO⊥AD.

又∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PO⊥平面ABCD,

∴BO为PB在平面ABCD上的射影,

∴∠PBO为PB与平面ABCD所成的角.

由已知△ABD为等边三角形,得PO=BO=,

∴PB与平面ABCD所成的角为45°.

(2)证明∵△ABD是正三角形,∴AD⊥BO.

∴AD⊥PB.

又PA=AB=2,N为PB中点,

∴AN⊥PB,AN∩AD=A,

∴BP⊥平面ADMN.

8.如图所示,在△ABC中,AC=BC=AB,四边形ABED是边长为1的正方形,平面ABED⊥底面ABC,G,F分别是EC,BD的中点.

(1)求证:GF∥平面ABC;

(2)求证:AC⊥平面EBC;

(3)求该五面体的体积.

(1)证明连接AE.

∵四边形ABED为正方形,∴AE∩BD=F,

且F是AE的中点,∴GF∥AC.

又AC⊂平面ABC,∴GF∥平面ABC.

(2)证明∵四边形ABED为正方形,∴EB⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,∴BE⊥平面ABC,

∴BE⊥AC.∵CA2+CB2=AB2,∴AC⊥BC.

又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面EBC.

(3)解取AB的中点N,连接CN.

因为AC=BC,∴CN⊥AB.

又∵平面ABED⊥平面ABC,平面ABED∩平面ABC=AB,CN⊂平面ABC,

∴CN⊥平面ABED.

∵△ABC是等腰直角三角形,∴CN=AB=.

∵五面体C-ABED是四棱锥,∴V四棱锥C-ABED=S四边形ABED·CN=×1×.