高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1椭圆及其标准方程训练含解析北师大版选修1_1

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第二章DIERZHANG圆锥曲线与方程§1　椭　圆1.1　椭圆及其标准方程1.设定点F1(0,-2),F2(0,2),动点P满足条件|PF1|+|PF2|=m+(m>2),则点P的轨迹是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　A.椭圆 B.线段C.不存在 D.椭圆或线段解析:因为m>2,所以m+>2=4,所以点P的轨迹为以F1,F2为焦点的椭圆.答案:A2.椭圆=1的焦点坐标是(　　)A.(±5,0) B.(0,±5)C.(0,±12) D.(±12,0)解析:因为c2=a2-b2=169-25=122,所以c=12.又焦点在y轴上,故焦点坐标为(0,±12).答案:C3.已知椭圆=1上一点P到椭圆的一个焦点的距离为3,到另一个焦点的距离为7,则m=(　　)A.10 B.5 C.15 D.25解析:设椭圆的焦点分别为F1,F2,则由椭圆的定义,知|PF1|+|PF2|=2a=10,所以a=5,所以a2=25,所以椭圆的焦点在x轴上,m=25.答案:D4.已知椭圆=1上一点P到两个焦点F1,F2的距离之差为2,则△PF1F2的形状为(　　)A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形解析:不妨令|PF1|-|PF2|=2,由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,∴△PF1F2为直角三角形.答案:A5.导学号01844010已知P是椭圆=1上一点,F1,F2为焦点,且∠F1PF2=90°,则△PF1F2的面积是　　　　　. 解析:由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a=10,①∵∠F1PF2=90°,∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=4c2=36,②由①②,得|PF1|·|PF2|=32.∴S=|PF1|·|PF2|=16.答案:166.若椭圆=1的焦距等于2,则m的值是　　　　　. 解析:当椭圆的焦点在x轴上时,a2=m,b2=15,所以c2=m-15,所以2c=2=2,解得m=16;当椭圆的焦点在y轴上时,同理有2=2,所以m=14.答案:16或147.已知椭圆的焦点是F1(-1,0),F2(1,0),P是椭圆上的一点,若|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项,则该椭圆的方程是　　　　　. 解析:由题意得2|F1F2|=|PF1|+|PF2|,所以4c=2a=4,所以a=2.又c=1,所以b2=a2-c2=3,故椭圆方程为=1.答案:=18.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,)的椭圆的标准方程.解由9x2+5y2=45,得=1.其焦点F1(0,2),F2(0,-2).设所求椭圆方程为=1.又∵点M(2,)在椭圆上,∴=1.①又a2-b2=4,②解①②得a2=12,b2=8.故所求椭圆方程为=1.9.导学号01844011已知P是椭圆+y2=1上的一点,F1,F2是椭圆的两个焦点.(1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2的面积;(2)当∠F1PF2为钝角时,求点P横坐标的取值范围.解(1)由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,①且F1(-,0),F2(,0).在△F1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos60°.②由①②得|PF1|·|PF2|=.所以|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=.(2)设点P(x,y),由已知∠F1PF2为钝角,得<0,即(x+,y)·(x-,y)<0,又y2=1-,所以x2<2,解得-<x<,所以点P横坐标的取值范围是-<x<.