高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.2椭圆的简单性质训练含解析北师大版选修1_1

1.2　椭圆的简单性质

A组

1.下面是关于曲线4x2=12-3y2对称性的一些叙述:

①关于x轴对称;②关于y轴对称;③关于原点对称;④关于直线y=x对称.其中正确叙述的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:曲线方程4x2=12-3y2可化为=1,故该曲线为焦点在y轴上的椭圆,由椭圆的性质,知该曲线关于x轴、y轴、原点对称,将曲线方程中的x换成y,y换成x,得=1,与原曲线方程不同,故该曲线不关于直线y=x对称.

答案:C

2.已知椭圆=1(m>0)的左焦点为F1(-4,0),则m=(　　)

A.2 B.3 C.4 D.9

解析:由已知a2=25,b2=m2,c=4,又由a2=b2+c2,可得m2=9.因为m>0,所以m=3.

答案:B

3.已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则椭圆C的方程是(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析:设椭圆C的方程为=1(a>b>0),

则c=1,e=,所以a=2,b=,

所以椭圆C的方程是=1.

答案:D

4.设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为(　　)

A. B. C.2- D.-1

解析:由已知|PF2|=2c,∴|PF1|=2c.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a,即2c+2c=2a,∴e=-1.

答案:D

5.已知椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上,且长轴长是短轴长的2倍,则m=(　　)

A. B. C.2 D.4

解析:将椭圆方程化为标准方程为x2+=1.

因为焦点在y轴上,所以>1,所以0<m<1,

由方程得a=,b=1.

因为a=2b,所以m=.

答案:A

6.设椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,过F2作x轴的垂线与C交于A,B两点,F1B与y轴交于点D,若AD⊥F1B,则椭圆C的离心率等于　　　　　. 

解析:因为AB⊥x轴,所以点D为F1B的中点,

且|AF2|=.又AD⊥F1B,

所以|AF1|=|AB|,所以2a-,

所以,e2=1-,所以e=.

答案:

7.已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为　　　　　. 

解析:因为0<e≤,所以0<e2≤.

又因为e2=1-,b=1,所以0<1-,

所以--1<0,所以<1,

所以1<a2≤4,所以1<a≤2,

所以长轴长2a∈(2,4].

答案:(2,4]

8.椭圆E:=1(a>b>0)的离心率是,点P(0,1)在短轴CD上,且=-1,则椭圆E的方程为　　　　　. 

解析:由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b).

又P点的坐标为(0,1),且=-1,

于是解得a=2,b=,

所以椭圆E方程为=1.

答案:=1

9.导学号01844012如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,M为椭圆上一点,且MF2⊥F1F2,∠MF1F2=30°.试求椭圆的离心率.

解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a,b,c,

因为MF2⊥F1F2,所以△MF1F2为直角三角形.

又∠MF1F2=30°,

所以|MF1|=2|MF2|,|F1F2|=|MF1|.

而由椭圆定义知|MF1|+|MF2|=2a,

因此|MF1|=,|MF2|=,

所以2c=,即,

即椭圆的离心率是.

B组

1.椭圆的焦点在x轴上,长、短半轴之和为10,焦距为4,则椭圆的标准方程为(　　)

A.=1 B.=1

C.=1 D.=1

解析:由题意得c=2,a+b=10,

∴b2=(10-a)2=a2-c2=a2-20,

解得a2=36,b2=16,故椭圆方程为=1.

答案:A

2.过椭圆=1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为 (　　)

A.8,6 B.4,3

C.2, D.4,2

解析:椭圆过焦点的弦中最长的是长轴,最短的为垂直于长轴的弦(通径)是,

∴最长的弦为2a=4,最短的弦为=3,

故选B.

答案:B

3.(2014大纲全国高考)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为              (　　)

A.=1 B.+y2=1

C.=1 D.=1

解析:∵=1(a>b>0)的离心率为,

∴.

又∵过F2的直线l交椭圆于A,B两点,

△AF1B的周长为4,

∴4a=4,∴a=.

∴b=,∴椭圆方程为=1,选A.

答案:A

4.已知椭圆C:+y2=1的两焦点为F1,F2,点P(x0,y0)满足0<<1,则|PF1|+|PF2|的取值范围是　　　　　. 

解析:由于0<<1,

所以点P(x0,y0)在椭圆+y2=1内部,且不能与原点重合.

根据椭圆的定义和几何性质知,|PF1|+|PF2|<2a=2,且|PF1|+|PF2|的最小值为点P落在线段F1F2上,此时|PF1|+|PF2|=2.

故|PF1|+|PF2|的取值范围是[2,2).

答案:[2,2)

5.导学号01844013如图所示,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标,其纵坐标等于短半轴长的,求椭圆的离心率.

解设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a,b,c,则焦点为F1(-c,0),F2(c,0),

M点的坐标为,

则△MF1F2为直角三角形.

在Rt△MF1F2中,|F1F2|2+|MF2|2=|MF1|2,

即4c2+b2=|MF1|2.

而|MF1|+|MF2|=b=2a,

整理得3c2=3a2-2ab.

又因为c2=a2-b2,

所以3b=2a,

所以,

所以e2==1-,

所以e=.

6.导学号01844014在直线l:x-y+9=0上任取一点P,过点P以椭圆=1的焦点为焦点作椭圆.

(1)P点在何处时,所求椭圆的长轴最短?

(2)求长轴最短时的椭圆方程.

解|PF1|+|PF2|=2a.要使椭圆长轴最短,就是P到F1,F2两点的距离之和最小,因而问题转化为在直线l上求一点P,使|PF1|+|PF2|为最小.

(1)如图,连接PF1,PF2,F1(-3,0),F2(3,0),作点F2关于直线l:y=x+9的对称点F2',则F2'(-9,12),那么F1F2'与直线l的交点即为所求的点P.

易知F1F2'的方程为2x+y+6=0.

与直线y=x+9联立,得P(-5,4).

(2)由(1)知2a=6,a=3,∴b2=a2-c2=36,

此时,椭圆的方程为=1.