高中数学第二章圆锥曲线与方程2.2.2抛物线的简单性质训练含解析北师大版选修1_1

2.2　抛物线的简单性质

A组

1.抛物线y=x2(a≠0)的焦点坐标为(　　)

A.a>0时为(0,a),a<0时为(0,-a)

B.a>0时为,a<0时为

C.(0,a)

D.

解析:a>0时,x2=4ay的焦点为(0,a);a<0时,x2=4ay的焦点为(0,a),这时焦点在y轴负半轴上.故不论a为何值,x2=4ay的焦点总为(0,a),故选C.

答案:C

2.已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB,则AB中点到x轴的最短距离为(　　)

A. B. C.1 D.2

解析:设AB的中点为M,焦点为F(0,1).过M作准线l:y=-1的垂线MN,过A作AC⊥l于C,过B作BD⊥l于D,则|MN|==3,所以AB中点到x轴的最短距离为3-1=2,此时动弦AB过焦点,故选D.

答案:D

3.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)

A.(6,+∞) B.[6,+∞)

C.(3,+∞) D.[3,+∞)

解析:∵抛物线的焦点到顶点的距离为3,

∴=3,即p=6.

又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,

∴抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).

答案:D

4.设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是(　　)

A.(0,2) B.[0,2]

C.(2,+∞) D.[2,+∞)

解析:设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心,

抛物线C的准线方程为y=-2,

由圆与准线相交知4<r.

因为点M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,

所以=8y0.

又点M(x0,y0)在圆x2+(y-2)2=r2上,

所以+(y0-2)2=r2>16,

所以8y0+(y0-2)2>16,即有+4y0-12>0,

解得y0>2或y0<-6,

又因为y0≥0,所以y0>2,故选C.

答案:C

5.已知抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点O,并且经过点M(2,y0).若点M到该抛物线焦点的距离为3,则|OM|=(　　)

A.2 B.2 C.4 D.2

解析:由于抛物线关于x轴对称,顶点在坐标原点且经过点M(2,y0),可设方程为y2=2px,由点M到抛物线焦点的距离为3,则由抛物线定义得2+=3,解得p=2,则y2=4x,又M(2,y0)在抛物线y2=4x上,则=8,|OM|==2.

答案:B

6.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足.如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=(　　)

A.4 B.8 C.8 D.16

解析:设A(-2,y),F(2,0),所以kAF==-,

所以y=4,所以yP=4.

因为点P在抛物线上,所以=8xP,

所以xP==6.

由抛物线定义可得

|PF|=|PA|=xP-xA=6-(-2)=8.

答案:B

7.沿直线y=-2发出的光线经抛物线y2=ax反射后,与x轴相交于点A(2,0),则抛物线的准线方程为　　　　　. 

解析:由抛物线的几何性质,从焦点发出的光线经抛物线反射后与x轴平行及直线y=-2平行于x轴知A(2,0)为焦点,故准线方程为x=-2.

答案:x=-2

8.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上,另一个顶点在坐标原点,如果这个三角形的面积为36,则a=　　　　　. 

解析:设正三角形边长为x.

由题意得,36x2sin60°,∴x=12.

当a>0时,将(6,6)代入y2=ax,得a=2.

当a<0时,将(-6,6)代入y2=ax,得a=-2,

故a=±2.

答案:±2

9.

导学号01844017如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成,为保证安全,要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.

(1)以抛物线的顶点为原点O,其对称轴所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系(如图),求该抛物线的方程;

(2)若行车道总宽度AB为7米,请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米(精确到0.1米)?

解如图所示.

(1)依题意,设该抛物线的方程为x2=-2py(p>0),

因为点C(5,-5)在抛物线上,

所以该抛物线的方程为x2=-5y.

(2)设车辆高为h,则|DB|=h+0.5,

故D(3.5,h-6.5),

代入方程x2=-5y,解得h=4.05,

所以车辆通过隧道的限制高度为4.0米.

B组

1.(2015全国卷Ⅰ高考)已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C:y2=8x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则|AB|=(　　)

A.3 B.6 C.9 D.12

解析:∵抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),

∴E的右焦点的坐标为(2,0).

设椭圆E的方程为=1(a>b>0),∴c=2.

∵,∴a=4.

∴b2=a2-c2=12,于是椭圆方程为=1.

∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A(-2,3),B(-2,-3),∴|AB|=6.

答案:B

2.抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是(　　)

A. B. C. D.3

解析:设(x0,y0)为抛物线y=-x2上任意一点,

∴y0=-,

∴d=,

∴dmin=.

答案:A

3.如图,已知点Q(2,0)及抛物线y=上的动点P(x,y),则y+|PQ|的最小值是(　　)

A.2 B.3

C.4 D.2

解析:如图所示,过P作PM垂直准线于点M,

则由抛物线的定义可知y+|PQ|=|PM|-1+|PQ|=|PF|+|PQ|-1,

当且仅当P,F,Q三点共线时,|PF|+|PQ|最小,

最小值为|QF|==3.

故y+|PQ|的最小值为3-1=2.

答案:A

4.已知顶点与原点O重合,准线为直线x=-的抛物线上有两点A(x1,y1)和B(x2,y2),若y1·y2=-1,则∠AOB的大小是　　　　　. 

解析:由已知得抛物线方程为y2=x,

因此=x1x2+y1y2=+y1y2=(-1)2+(-1)=0.∴.∴∠AOB=90°.

答案:90°

5.导学号01844018对于抛物线y2=4x上任意一点Q,点P(a,0)都满足|PQ|≥|a|,则a的取值范围是　　　　　. 

解析:设点Q的坐标为.

由|PQ|≥|a|,得|PQ|2≥a2,即≥a2,

整理,得+16-8a)≥0.

∵≥0,∴+16-8a≥0.即a≤2+恒成立.

而2+的最小值为2.∴a≤2.

答案:(-∞,2]

6.导学号01844019某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔,已知上部呈抛物线形,跨度为20米,拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米.现有一货船欲过此孔,该货船水下宽度不超过18米,目前吃水线上部中央船体高5米,宽16米,且该货船在现有状况下最多可装1 000吨货物,但每多装150吨货物,船体吃水线就要上升0.04米.若不考虑水下深度,问:该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔?为什么?

解如图所示,以拱顶为原点,过拱顶的水平直线为x轴,竖直直线为y轴,建立平面直角坐标系.

因为拱顶距水面6米,桥墩高出水面4米,

所以A(10,-2).

设桥孔上部抛物线方程是x2=-2py(p>0),

则102=-2p×(-2),所以p=25,

所以抛物线方程为x2=-50y,即y=-x2.

若货船沿正中央航行,船宽16米,而当x=8时,

y=-×82=-1.28,

即船体在x=±8之间通过,B(8,-1.28),此时B点距水面6+(-1.28)=4.72(米).

而船体高为5米,所以无法通行.

又因为5-4.72=0.28(米),0.28÷0.04=7,150×7=1050(吨),

所以若船通过增加货物通过桥孔,则要增加1050吨,而船最多还能装1000吨货物,所以货船在现有状况下不能通过桥孔.