高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程训练含解析北师大版选修1_1

§3　双曲线

3.1　双曲线及其标准方程

1.在方程mx2-my2=n中,若mn<0,则方程表示的曲线是(　　)

A.焦点在x轴上的椭圆

B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆

D.焦点在y轴上的双曲线

解析:将方程化为=1,

由mn<0,知->0,

所以方程表示的曲线是焦点在y轴上的双曲线.

答案:D

2.椭圆=1和双曲线=1有相同的焦点,则实数n的值是(　　)

A.±5 B.±3 C.5 D.9

解析:由题意知,34-n2=n2+16,

∴2n2=18,n2=9,∴n=±3.

答案:B

3.平面内动点P(x,y)与A(-2,0),B(2,0)两点连线的斜率之积为,动点P的轨迹方程为(　　)

A.+y2=1 B.-y2=1

C.+y2=1(x≠±2) D.-y2=1(x≠±2)

解析:依题意有kPA·kPB=,即(x≠±2),整理得-y2=1(x≠±2).

答案:D

4.设点P在双曲线=1上,若F1,F2为双曲线的两个焦点,且|PF1|∶|PF2|=1∶3,则△F1PF2的周长等于(　　)

A.22 B.16 C.14 D.12

解析:由双曲线定义知|PF2|-|PF1|=6,

又|PF1|∶|PF2|=1∶3,由两式得|PF1|=3,|PF2|=9,进而易得周长为22.

答案:A

5.焦点分别为(-2,0),(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为(　　)

A.x2-=1 B.-y2=1

C.y2-=1 D.=1

解析:由双曲线定义知,2a==5-3=2,∴a=1.

又c=2,∴b2=c2-a2=4-1=3,

因此所求双曲线的标准方程为x2-=1.

答案:A

6.(2015北京高考)已知(2,0)是双曲线x2-=1(b>0)的一个焦点,则b=　　　　　. 

解析:由题意知c=2,a=1,b2=c2-a2=3.又b>0,所以b=.

答案:

7.经过点P(-3,2)和Q(-6,-7),且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是　　　　　. 

解析:设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),

则解得

故双曲线的标准方程为=1.

答案:=1

8.已知双曲线的两个焦点F1(-,0),F2(,0),P是双曲线上一点,且=0,|PF1|·|PF2|=2,则双曲线的标准方程为　　　　　. 

解析:由题意可设双曲线方程为=1(a>0,b>0).

由=0,得PF1⊥PF2.

根据勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,

即|PF1|2+|PF2|2=20.

根据双曲线定义有|PF1|-|PF2|=±2a.

两边平方并代入|PF1|·|PF2|=2,得20-2×2=4a2,解得a2=4,从而b2=5-4=1,

所以双曲线方程为-y2=1.

答案:-y2=1

9.导学号01844023双曲线C与椭圆=1有相同焦点,且经过点(,4).

(1)求双曲线C的方程;

(2)若F1,F2是双曲线C的两个焦点,点P在双曲线C上,且∠F1PF2=120°,求△F1PF2的面积.

解(1)椭圆的焦点为F1(0,-3),F2(0,3),

设双曲线的方程为=1,

则a2+b2=32=9.①

又双曲线经过点(,4),所以=1,②

解①②得a2=4,b2=5或a2=36,b2=-27(舍去),

所以所求双曲线C的方程为=1.

(2)由双曲线C的方程,知a=2,b=,c=3.

设|PF1|=m,|PF2|=n,则|m-n|=2a=4,

平方得m2-2mn+n2=16.①

在△F1PF2中,由余弦定理得(2c)2=m2+n2-2mncos120°=m2+n2+mn=36.②

由①②得mn=,

所以△F1PF2的面积为S=mnsin120°=.

10.导学号01844024设双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且与椭圆相交,一个交点A的纵坐标为4,求此双曲线的标准方程.

解法一设双曲线的标准方程为=1(a>0,b>0),由题意知c2=36-27=9,c=3.

又点A的纵坐标为4,则横坐标为±,

于是有

解得

所以双曲线的标准方程为=1.

解法二将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±,4),又两焦点分别为F1(0,3),F2(0,-3),

所以2a=||=4,

即a=2,b2=c2-a2=9-4=5,

所以双曲线的标准方程为=1.