高中数学第二章圆锥曲线与方程第2课时圆锥曲线的定义标准方程与几何性质训练含解析北师大版选修1_1

第2课时　圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质

1.已知椭圆=1的左焦点为F1,点P是椭圆上异于顶点的任意一点,O为坐标原点,若点D是线段PF1的中点,则△F1OD的周长为(　　)

A.6 B.5 C.12 D.10

解析:

椭圆方程为=1,则a=3,b=,c=2.如右图,

设右焦点为F2,连接PF2.由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6.在△PF1F2中,D,O分别是PF1,F1F2的中点,故|OD|=|PF2|,所以△F1OD的周长为|F1D|+|DO|+|F1O|=(|PF1|+|PF2|)+c=3+2=5.

答案:B

2.(2015湖南高考)若双曲线=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析:∵双曲线的渐近线方程为y=±x,且过点(3,-4),

∴-4=-×3,∴.

∴离心率e=,

故选D.

答案:D

3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点P是C上一点,O为坐标原点,若△POF的面积为2,则|PF|=(　　)

A. B.3 C. D.4

解析:由已知得F(2,0),设P(x0,y0),则·2·|y0|=2,所以|y0|=2,于是x0=,故|PF|=x0+.

答案:A

4.(2016全国丙高考)已知O为坐标原点,F是椭圆C:=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左、右顶点,P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(　　)

A. B. C. D.

解析:由题意知,A(-a,0),B(a,0),根据对称性,

不妨令P,

设l:x=my-a,∴M,E.

∴直线BM:y=-(x-a).

又直线BM经过OE的中点,

∴,解得a=3c.

∴e=,故选A.

答案:A

5.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|BC|=|CF2|,则双曲线的渐近线方程为(　　)

A.y=±(+1)x B.y=±x 

C.y=±(-1)x D.y=±x

解析:因为过点F1作圆x2+y2=a2的切线分别交双曲线的左、右两支于点B,C,且|BC|=|CF2|,

所以|BF1|=2a.

不妨设切点为T,B(x,y),y>0,则利用三角形相似可得,所以x=,y=,所以B,代入双曲线方程,化简可得b=(+1)a,所以双曲线的渐近线方程为y=±(+1)x.

答案:A

6.已知抛物线y=ax2的准线方程为y=-,则实数a=　　　　　. 

解析:抛物线方程化为x2=y,

依题意有,所以a=.

答案:

7.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且=4,则双曲线的离心率的最大值为　　　　. 

解析:由已知得|PF1|-|PF2|=3|PF2|=2a,

所以|PF2|=≥c-a,

所以≥c,即e=,故离心率e的最大值为.

答案:

8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的左顶点与抛物线y2=2px(p>0)的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(-2,-1),则双曲线的焦距为　　　　　. 

解析:点(-2,-1)在抛物线的准线上,可得p=4,于是双曲线的左顶点为(-2,0),即a=2,点(-2,-1)在双曲线的渐近线上,则得双曲线的渐近线方程为y=±x.由双曲线的性质,可得b=1,所以c=,则焦距为2c=2.

答案:2

9.导学号01844057已知双曲线C的一个焦点与抛物线C1:y2=-16x的焦点重合,且其离心率为2.

(1)求双曲线C的方程;

(2)求双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线所围成三角形的面积.

解(1)抛物线C1:y2=-16x的焦点坐标为(-4,0),

因此可设双曲线方程为=1(a>0,b>0),

则依题意有解得a2=4,b2=12.

故双曲线C的方程为=1.

(2)抛物线C1的准线方程为x=4,双曲线C的渐近线方程为y=±x,于是双曲线C的渐近线与抛物线C1的准线的两个交点为(4,4),(4,-4),所围成三角形的面积S=×8×4=16.

10.导学号01844058已知椭圆=1(a>b>0)的左、右顶点分别是A,B,右焦点是F,过点F作直线与长轴垂直,与椭圆交于P,Q两点.

(1)若∠PBF=60°,求椭圆的离心率;

(2)求证:∠APB一定为钝角.

(1)解不妨设点P在第一象限,则P点的横坐标为c,由于点P在椭圆上,故可求得点P的纵坐标为,即P.

于是在Rt△BFP中,tan∠PBF==1+e=tan60°=,所以e=-1.

(2)证明因为P,A(-a,0),B(a,0),

所以,

则=c2-a2+-b2

==-<0,

因此向量的夹角是钝角,即∠APB一定为钝角.