高中数学第二章圆锥曲线与方程习题课2抛物线的综合问题及应用训练含解析北师大版选修1_1

习题课——导数的综合应用

1.若不等式>0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.a>-1 B.a<-1

C.a<4 D.a>4

解析:依题意不等式x3-2x-a<0在[1,2]上恒成立,

即a>x3-2x,令g(x)=x3-2x,

则g'(x)=3x2-2>0在[1,2]上恒成立,

因此[g(x)]max=g(2)=4,故a>4.

答案:D

2.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=(　　)

A.-2或2 B.-9或3 C.-1或1 D.-3或1

解析:y'=3x2-3,所以当y'=0时,x=±1.则x,y',y的变化情况如下表:

因此,当函数图像与x轴恰有两个公共点时,必有c+2=0或c-2=0,所以c=-2或c=2.故选A.

答案:A

3.方程-ln x-2=0的根的个数为(　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:令f(x)=-lnx-2,则由f'(x)==0,得x=4.当0<x<4时,f'(x)<0;当x>4时,f'(x)>0.∴x=4是f(x)的唯一极小值点,且f(4)<0.又f(e-2)>0,f(e4)=e2-6>0,∴f(x)在(e-2,4),(4,e4)上各有一个零点,∴对应的方程有2个根.故选C.

答案:C

4.若不等式ax2≥ln x恒成立,则实数a的取值范围是(　　)

A.a≥ B.a>

C.a< D.a≤

解析:由ax2≥lnx得a≥,令g(x)=,

则g'(x)=,由g'(x)=0得x=,

且g(x)在(0,)上是增加的,在(,+∞)上是减少的,

于是g(x)在x=处取得极大值即最大值g()=,

因此要使a≥成立,应有a≥.

答案:A

5.已知y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+>0,则函数g(x)=f(x)+的零点个数为(　　)

A.1 B.2 C.0 D.0或2

解析:因为函数y=f(x)为R上的可导函数,当x≠0时,f'(x)+>0,即>0.

令h(x)=xf(x),即>0.所以可得所以函数h(x)在x>0时是增加的,所以h(x)>h(0)=0.即当x>0时,h(x)>0.同理当x<0时,h(x)>0.又因为函数g(x)=f(x)+可化为g(x)=,所以当x>0时,g(x)>0,即与x轴没交点.当x<0时,g(x)<0.所以函数g(x)=f(x)+的零点个数为0.故选C.

答案:C

6.函数f(x)=x3-12x+3,g(x)=3x-m,若∀x1∈[-1,5],∃x2∈[0,2],f(x1)≥g(x2),则实数m的最小值是　　　　　. 

解析:由题意f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),

则f(x)在[-1,2]上是减少的,在[2,5]上是增加的,

所以x∈[-1,5]时,f(x)min=f(2)=8-24+3=-13.

又g(x)=3x-m在[0,2]上是增加的,

所以x∈[0,2]时,g(x)min=g(0)=1-m,

所以-13≥1-m,得m≥14,故mmin=14.

答案:14

7.函数y=ln x+x2的图像与函数y=3x-b的图像有3个不同的交点,则实数b的取值范围是　　　　　. 

解析:依题意方程lnx+x2-3x+b=0有3个实数根,即b=-lnx-x2+3x,令f(x)=-lnx-x2+3x,则f'(x)=--2x+3=,因此f(x)在x=取得极小值f+ln2,在x=1取得极大值f(1)=2,故实数b的取值范围是.

答案:

8.已知函数f(x)=ex-2x+a有零点,则a的取值范围是　　　　　. 

解析:∵f'(x)=ex-2,令f'(x)=0,解得x=ln2,∴当x∈(-∞,ln2)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(-∞,ln2)上是减少的;当x∈(ln2,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(ln2,+∞)上是增加的,∴当x=ln2时,f(x)=ex-2x+a取得最小值,为eln2-2ln2+a=2-2ln2+a.由题意,得2-2ln2+a≤0,解得a≤2ln2-2.

答案:a≤2ln 2-2

9.导学号01844051已知函数f(x)=ln x.

(1)若函数h(x)=f(x)+x2-ax在点(1,h(1))处的切线与直线4x-y+1=0平行,求实数a的值;

(2)对任意的a∈[-1,0),若不等式f(x)<ax2+2x+b在x∈(0,1]上恒成立,求实数b的取值范围.

解(1)由已知得h(x)=lnx+x2-ax,

则h'(x)=+x-a=,

由于直线4x-y+1=0的斜率为4,

依题意得h'(1)=4.

即2-a=4⇒a=-2,故a的值为-2.

(2)由已知得:不等式b>lnx-ax2-2x对任意的a∈[-1,0)恒成立,

则b>,

由函数φ(a)=-x2a-2x+lnx在a∈[-1,0)上是减少的,

所以φ(a)max=φ(-1)=x2-2x+lnx,

因此问题转化为不等式b>x2-2x+lnx在x∈(0,1]上恒成立,令G(x)=x2-2x+lnx,

则G'(x)=x-2+≥0.

因此G(x)max=G(1)=-,

故b的取值范围为b>-.

10.导学号01844052已知函数f(x)=x3-x2+bx+c.

(1)若f(x)有极值,求b的取值范围;

(2)当f(x)在x=1处取得极值时,证明:对[-1,2]内的任意两个值x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤.

(1)解因为f(x)=x3-x2+bx+c,

所以f'(x)=3x2-x+b,要使f(x)有极值,

则f'(x)=3x2-x+b=0有两个不相等的实数解,

从而Δ=1-12b>0,解得b<.

(2)证明因为f(x)在x=1处取得极值,

所以f'(1)=3-1+b=0.

所以b=-2.

由上可知,当x=1时,f(x)有极小值-+c,

当x=-时,f(x)有极大值+c.

又f(2)=2+c,f(-1)=+c,

所以当x∈[-1,2]时,f(x)的最小值为-+c,最大值为2+c.

所以|f(x1)-f(x2)|≤|f(x)max-f(x)min|=,故结论成立.