高中数学第三章变化率与导数3.2导数的概念及其几何意义训练含解析北师大版选修1_1

§2　导数的概念及其几何意义

A组

1.若函数f(x)=-3x-1,则f'(x)=(　　)

A.0 B.-3x C.3 D.-3

解析:f'(x)=

=

=(-3)=-3.

答案:D

2.已知函数y=f(x)的图像如下图所示,则f'(xA)与f'(xB)的大小关系是(　　)

A.f'(xA)>f'(xB) B.f'(xA)<f'(xB)

C.f'(xA)=f'(xB) D.不能确定

解析:由图像易知,点A,B处的切线斜率kA,kB满足kA<kB<0,由导数的几何意义,得f'(xA)<f'(xB).

答案:B

3.已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则a=(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析:k=[12+6Δx+(Δx)2]=12,∴过点(2,8)的切线方程为y-8=12(x-2),即y=12x-16,∴a=1.

答案:B

4.若曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,则该切点的坐标为(　　)

A.(1,-8) B.(-1,-12)

C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)

解析:设切点坐标为P(x0,y0),则y0=+x0-10.

切线斜率

k=

=[(3+1)+3x0·Δx+(Δx)2]

=3+1=4,∴x0=±1.

当x0=1时,y0=-8;当x0=-1时,y0=-12,即切点为(1,-8)或(-1,-12).

答案:C

5.曲线f(x)=x2在x=0处的切线方程为　. 

解析:f'(0)=Δx=0,又切线过点(0,0),故切线方程为y=0.

答案:y=0

6.如图,函数y=f(x)的图像在点P处的切线方程是y=-2x+9,P点的横坐标是4,则f(4)+f'(4)=　　　　　. 

解析:由题意得,f'(4)=-2,f(4)=-2×4+9=1.

因此,f(4)+f'(4)=1-2=-1.

答案:-1

7.曲线f(x)=x3在点(a,a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x=a围成的三角形的面积为,则a=　　　　　. 

解析:因为f'(a)==3a2,所以曲线在点(a,a3)处的切线方程为y-a3=3a2(x-a).令y=0,得切线与x轴的交点为,由题设知三角形面积为·|a3|=,解得a=±1.

答案:±1

8.求下列函数的导数.

(1)求函数f(x)=在x=1处的导数;

(2)求y=x2+ax+b(a,b为常数)的导数.

解(1)解法一(导数定义法):Δy=-1,

.

,∴f'(1)=.

解法二(导函数的函数值法):Δy=,

.

∴.

∴f'(x)=,∴f'(1)=.

(2)y'=

=

=(2x+a+Δx)

=2x+a.

9.导学号01844032已知曲线y=上点P(2,-1).

求:(1)曲线在点P处的切线的斜率;

(2)曲线在点P处的切线方程.

解将P(2,-1)代入y=,得t=1,∴y=.

∴y'=

=

=

=.

(1)曲线在点P处的切线的斜率为=1;

(2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2,

即x-y-3=0.

B组

1.曲线y=f(x)=x2-2在点处切线的倾斜角为(　　)

A.1 B. C. D.-

解析:由导数的定义可知f'(x)=x,

所以f'(1)=1=tanθ,故θ=.

答案:B

2.已知直线ax-by-2=0与曲线y=x3在点P(1,1)处的切线互相垂直,则的值为(　　)

A. B.- C. D.-

解析:由导数的定义可得y'=3x2,

∴y=x3在点P(1,1)处的切线斜率k=3.

由条件知,3×=-1,∴=-.

答案:D

3.函数y=f(x)的图像在点P(5,f(5))处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=　　　　　. 

解析:由题意知,f(5)=-5+8=3,f'(5)=-1,

∴f(5)+f'(5)=2.

答案:2

4.如图,函数f(x)的图像是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则f[f(0)]=　　　　　;=　　　　　.(用数字作答) 

解析:易知f(x)=

∴f(0)=4,f[f(0)]=f(4)=2.

由导数的定义知=f'(1)=-2.

答案:2　-2

5.导学号01844033已知曲线C:y=经过点P(0,-1),求:

(1)曲线在点P处的切线的斜率.

(2)曲线在点P处的切线的方程.

(3)过点O(0,0)的曲线C的切线方程.

解(1)将P(0,-1)代入y=中得t=-1,

∴y=-.

∴

=,

∴,

∴曲线在点P处切线的斜率为k==1.

(2)曲线在点P处的切线方程为y+1=x,

即x-y-1=0.

(3)∵点O(0,0)不在曲线C上,设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点M(x0,y0),

则切线斜率k=,

∵y0=-,∴x0=-,

∴切点M,切线斜率k=4,切线方程为y+2=4,即y=4x.

6.导学号01844034已知直线l1为曲线y=f(x)=x2+x-2在(1,0)处的切线,l2为该曲线的另一条切线,且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程;

(2)求由直线l1,l2和x轴围成的三角形的面积.

解(1)f'(x)=

=

=(2x+Δx+1)=2x+1.

∴f'(1)=2×1+1=3,

∴直线l1的方程为y=3(x-1),即y=3x-3.

设直线l2与曲线y=x2+x-2相切于点B(b,b2+b-2),

则l2的方程为y=(2b+1)x-b2-2.

∵l1⊥l2,则有2b+1=-,b=-,

∴直线l2的方程为y=-x-.

(2)解方程组

故直线l1和l2的交点坐标为.

l1,l2与x轴交点的坐标分别为(1,0),,

故所求三角形的面积S=.