高中数学第三章变化率与导数3.3计算导数训练含解析北师大版选修1_1

§3　计算导数

1.曲线y=在点P处的切线的斜率为-4,则点P的坐标是(　　)

A. B.

C. D.

解析:y'='=-,

由-=-4,解得x=±.

所以P点的坐标为,故选B.

答案:B

2.设函数f(x)=g(x)+x2,曲线y=g(x)在点(1,g(1))处的切线方程为y=2x+1,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处切线的斜率为(　　)

A.2 B.- C.4 D.-

解析:由题意可知g'(1)=2,f'(x)=g'(x)+2x,

∴f'(1)=g'(1)+2=4,故选C.

答案:C

3.设f0(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,fn+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 017(x)=(　　)

A.sin x B.-sin x

C.cos x D.-cos x

解析:f0(x)=sinx,

f1(x)=f0'(x)=(sinx)'=cosx,

f2(x)=f1'(x)=(cosx)'=-sinx,

f3(x)=f2'(x)=(-sinx)'=-cosx,

f4(x)=f3'(x)=(-cosx)'=sinx,

∴4为最小正周期,

∴f2017(x)=f1(x)=cosx.

答案:C

4.若f(x)=10x,则f'(1)=　　　　　. 

解析:∵(10x)'=10xln10,∴f'(1)=10ln10.

答案:10ln 10

5.在曲线y=上求一点P,使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°,则P点坐标为　　　　　. 

解析:设P(x0,y0),

∵y'='=(4x-2)'=-8x-3,tan135°=-1,

∴-8=-1.∴x0=2,y0=1.

答案:(2,1)

6.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn,令an=lg xn,则a1+a2+…+a99的值为　　　　　. 

解析:在点(1,1)处的切线斜率k=(n+1)×1n=n+1,

则在点(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1),

令y=0,得xn=.∴an=lg.

∴a1+a2+…+a99=lg+lg+…+lg

=lg=lg=-2.

答案:-2

7.求抛物线y=x2过点的切线方程.

解设此切线过抛物线上的点(x0,).

由导数的意义知此切线的斜率为2x0.

又∵此切线过点和点(x0,),

∴=2x0.

由此x0应满足-5x0+6=0,解得x0=2或x0=3.

即切线过抛物线y=x2上的点(2,4)或(3,9),

∴所求切线方程分别为y-4=4(x-2)或y-9=6(x-3),化简得4x-y-4=0或6x-y-9=0.

8.导学号01844035已知直线y=kx是曲线y=ln x的一条切线,试求k的值.

解设切点坐标为(x0,y0).

∵y=lnx,∴y'=,∴切线的斜率k=.

∵点(x0,y0)既在直线y=kx上,也在曲线y=lnx上,∴把k=代入①式得y0=1,再把y0=1代入②式求出x0=e.∴k=.

9.导学号01844036已知曲线C:y=2x2,点A(0,-2)及点B(3,a),从点A观察点B,若视线不被曲线C挡住,求实数a的取值范围.

解在曲线C:y=2x2上取一点D(x0,2)(x0>0),

∵y=2x2,∴y'=4x.

当x=x0时,y'=4x0.

令=4x0,得x0=1,此时D(1,2),kAD==4,直线AD的方程为y=4x-2.

若视线不被曲线C挡住,则实数a<4×3-2=10,

即实数a的取值范围是(-∞,10).