高中数学第三章变化率与导数3.4导数的四则运算法则训练含解析北师大版选修1_1

§4　导数的四则运算法则

A组

1.若f(x)=,则f'(-1)=(　　)

A. B.- C. D.-

解析:因为f(x)=,所以f'(x)=-,

所以f'(-1)=-×(-1=-.

答案:D

2.已知f(x)=ax3+3x2+2,若f'(-1)=4,则a的值是 (　　)

A. B. C. D.

解析:因为f'(x)=3ax2+6x,所以f'(-1)=3a-6,所以3a-6=4,故a=.

答案:D

3.已知点P在曲线y=2sincos上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

解析:∵y=2sincos=sinx,∴y'=cosx.设P(x0,y0),

由题意,知切线的斜率存在,则曲线在点P处的切线的斜率为tanα=cosx0,∴-1≤tanα≤1.

∵0≤α<π,∴α∈,故选D.

答案:D

4.若函数f(x)=f'(1)x3-2x2+3,则f'(1)的值为(　　)

A.0 B.-1 C.1 D.2

解析:因为f(x)=f'(1)x3-2x2+3,所以f'(x)=3f'(1)x2-4x,所以f'(1)=3f'(1)-4,所以f'(1)=2.

答案:D

5.已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是　　　　　. 

解析:∵y=,∴y'=<0.

∵=-=-≥-=-1,

当且仅当x=0时取等号,∴-1≤y'<0.

∴-1≤tanα<0,即≤α<π.

答案:

6.曲线y=在点(-1,-1)处的切线方程为　　　　　. 

解析:由y=,得y'=,

所以所求切线的斜率为2,故所求切线方程为y-(-1)=2(x+1),即2x-y+1=0.

答案:2x-y+1=0

7.若f(x)=cos2-sin2+tan,则f'=　　　　　. 

解析:∵f(x)=cosx+,∴f'(x)=-sinx,

∴f'=-sin=-.

答案:-

8.求下列函数的导数.

(1)y=xcos x-sin x;

(2)y=x-sincos;

(3)y=.

解(1)∵y=xcosx-sinx,

∴y'=(xcosx)'-(sinx)'=cosx-xsinx-cosx=-xsinx.

(2)∵y=x-sincos=x-sinx,

∴y'='=x'-(sinx)'=1-cosx.

(3)∵y=,∴y'='=.

9.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx过点(1,5),其导函数y=f'(x)的图像如图所示,求f(x)的解析式.

解∵f'(x)=3ax2+2bx+c,

且f'(1)=0,f'(2)=0,f(1)=5,

∴解得

∴函数y=f(x)的解析式为f(x)=2x3-9x2+12x.

B组

1.已知f(x)=x-5+3sin x,则f'(x)等于(　　)

A.-5x-6-3cos x B.x-6+3cos x

C.-5x-6+3cos x D.x-6-3cos x

解析:y'=-5x-6+3cosx.

答案:C

2.函数f(x)=的导数是(　　)

A.(x>0) B.

C. D.

解析:f(x)=,∴f'(x)=.

答案:C

3.函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=2xf'(e)+ln x,则f'(e)等于(　　)

A.e-1 B.-1 C.-e-1 D.-e

解析:∵f(x)=2xf'(e)+lnx,

∴f'(x)=2f'(e)+,

∴f'(e)=2f'(e)+,

解得f'(e)=-,故选C.

答案:C

4.若曲线f(x)=acos x与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,则a+b=　　　　　. 

解析:f'(x)=-asinx,g'(x)=2x+b,∵曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0,m)处有公切线,∴f(0)=a=g(0)=1,且f'(0)=0=g'(0)=b,

∴a+b=1.

答案:1

5.导学号01844037已知曲线C:f(x)=x3-ax+a,若过曲线C外一点A(1,0)引曲线C的两条切线,它们的倾斜角互补,则a的值为　　　　　. 

解析:函数f(x)的导数f'(x)=3x2-a.

过直线外A(1,0)作曲线C的切线.

设切点(x0,f(x0)),

则切线方程为y=(3-a)(x-1),

将(x0,f(x0))代入得f(x0)=-ax0+a,

即2-3=0,解得x0=0或x0=.

故满足条件的切线有两条,且它们的斜率分别为-a与-a.

因为两条切线的倾斜角互补,所以-a+-a=0,

故a=.

答案:

6.求下列函数的导数.

(1)y=;

(2)y=-sin.

解(1)y=

=-2,

∴y'='=.

(2)y=-sin·cos=-sinx,

∴y'='=-cosx.

7.导学号01844038已知函数f(x)=x3+x-16.

(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程;

(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;

(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程.

解(1)∵f'(x)=3x2+1,

∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.

∴切线的方程为13x-y-32=0.

(2)解法一:设切点为(x0,y0),

则直线l的斜率为f'(x0)=3+1,

∴直线l的方程为y=(3+1)(x-x0)++x0-16,又∵直线l过原点(0,0),

∴0=(3+1)(-x0)++x0-16,

整理得,=-8,∴x0=-2,∴y0=-26,k=13.

∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

解法二:设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0),

则k=,

又∵k=f'(x0)=3+1,∴=3+1,

解得x0=-2,∴y0=-26,k=13.

∴直线l的方程为y=13x,切点坐标为(-2,-26).

(3)∵切线与直线y=-+3垂直,

∴切线的斜率k=4.

设切点坐标为(x0,y0),则f'(x0)=3+1=4,

∴x0=±1,∴

∴切点坐标为(1,-14)或(-1,-18),切线方程为y=4x-18或y=4x-14,

即4x-y-18=0或4x-y-14=0.