高中数学第四章导数应用4.1.1导数与函数的单调性训练含解析北师大版选修1_1

第四章DISIZHANG导数应用

§1　函数的单调性与极值

1.1　导数与函数的单调性

A组

1.函数f(x)=x3+的递减区间为(　　)

A.(-1,0),(0,1) B.(-1,0)∪(0,1)

C.(-1,1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

解析:函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

f'(x)=3x2-=3.

令f'(x)>0,

解得x<-1或x>1.

令f'(x)<0,解得-1<x<1,且x≠0.

所以函数f(x)的递增区间为(-∞,-1),(1,+∞);递减区间为(-1,0),(0,1).

答案:A

2.已知定义在R上的函数f(x)满足f(-3)=f(5)=1,f'(x)为f(x)的导函数,且导函数y=f'(x)的图像如图所示,则不等式f(x)<1的解集是(　　)

A.(-3,0) B.(-3,5)

C.(0,5) D.(-∞,-3)∪(5,+∞)

解析:依题意得,当x>0时,f'(x)>0,f(x)是增加的;当x<0时,f'(x)<0,f(x)是减少的.又f(-3)=f(5)=1,因此不等式f(x)<1的解集是(-3,5),选B.

答案:B

3.若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)<xf'(x),则 (　　)

A.2f(1)<f(2) B.2f(1)>f(2)

C.2f(1)=f(2) D.f(1)=f(2)

解析:设g(x)=,则g'(x)=,

∵f(x)<xf'(x),∴g'(x)>0,

即g(x)在(0,+∞)上是增加的,

∴g(1)<g(2),即⇒2f(1)<f(2),故选A.

答案:A

4.已知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,则下列关于函数y=f(x)的单调性的说法中,正确的是              (　　)

A.在(x0,x1)上f(x)是常数函数

B.在(-∞,x2)上f(x)不是单调函数

C.在(x2,x3)上f(x)是常数函数

D.在(x2,+∞)上f(x)是增加的

解析:因为x∈(-∞,x2)时,f'(x)<0,

故f(x)在(-∞,x2)上是减少的;

x∈(x2,x3)时,f'(x)=0恒成立,即函数f(x)的变化率为0,故为常数函数.

答案:C

5.设函数f(x)的图像如图所示,则导函数f'(x)的图像可能为(　　)

解析:由函数f(x)的图像可知,函数f(x)的递增区间为(1,4),递减区间为(-∞,1)和(4,+∞),因此x∈(1,4)时,f'(x)>0,x∈(-∞,1)或x∈(4,+∞)时,f'(x)<0,结合选项知选C.

答案:C

6.若定义在R上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f'(x)满足f'(x)>k>1,则下列结论一定错误的是 (　　)

A.f B.f

C.f D.f

解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,

则F'(x)=f'(x)-k>0,

∴函数F(x)在R上为增函数.

∵>0,∴F>F(0)=f(0)=-1,

即f-1=,

∴f,故C错误.

答案:C

7.函数y=x2-ln x的递增区间为　　　　　,递减区间为　　　　　. 

解析:函数y=x2-lnx的定义域为(0,+∞),

y'=x-,

若y'>0,即解得x>1;

若y'<0,即解得0<x<1.

故函数y=x2-lnx的递增区间为(1,+∞),递减区间为(0,1).

答案:(1,+∞)　(0,1)

8.函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图像如图所示,则在(-2,+∞)上,函数y=f(x)的递增区间为　　　　　. 

解析:由f'(x)的图像可知,当x∈(-1,2)和x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,故函数f(x)在(-1,2)和(4,+∞)上都是增加的.

答案:(-1,2)和(4,+∞)

9.已知函数f(x)=ln x,g(x)=ax+b.

(1)若f(x)与g(x)在x=1处相切,求g(x)的表达式;

(2)若φ(x)=-f(x)在[1,+∞)上是减少的,求实数m的取值范围.

解(1)由已知得f'(x)=,g'(x)=a,

∴f'(1)=1=a,a=2.

又∵g(1)=a+b=0,

∴b=-1,∴g(x)=x-1.

(2)∵φ(x)=-f(x)=-lnx在[1,+∞)上是减少的,

∴φ'(x)=≤0在[1,+∞)上恒成立,即x2-(2m-2)x+1≥0在[1,+∞)上恒成立,

则2m-2≤x+,x∈[1,+∞)恒成立,

∵x+∈[2,+∞),∴2m-2≤2,m≤2.

故实数m的取值范围是(-∞,2].

10.导学号01844042已知函数f(x)=4x3+3tx2-6t2x+t-1,x∈R,其中t∈R.

(1)当t=1时,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;

(2)当t≠0时,求f(x)的单调区间.

解(1)当t=1时,

f(x)=4x3+3x2-6x,f(0)=0,

f'(x)=12x2+6x-6,f'(0)=-6,

所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=-6x.

(2)f'(x)=12x2+6tx-6t2,令f'(x)=0,解得x=-t或x=,因为t≠0,以下分两种情况讨论:

①若t<0,则<-t.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)的递增区间是,(-t,+∞),f(x)的递减区间是.

(2)若t>0,则>-t.

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

所以f(x)的递增区间是(-∞,-t),,f(x)的递减区间是.

B组

1.已知f(x)=x-sin x,则f(x)(　　)

A.既是奇函数又是减函数

B.既是奇函数又是增函数

C.是有零点的减函数

D.是没有零点的奇函数

解析:显然f(x)是奇函数,又f'(x)=1-cosx≥0,所以f(x)在R上是增加的,故选B.

答案:B

2.函数f(x)的导数f'(x)的图像是如图所示的一条直线l,l与x轴交点坐标为(1,0),则f(0)与f(2)的大小关系为(　　)

A.f(0)<f(2) B.f(0)>f(2)

C.f(0)=f(2) D.无法确定

解析:由图知f'(1)=0.当x<1时,f'(x)>0,函数f(x)是增加的,当x>1时,f'(x)<0,函数f(x)是减少的;又因为f(x)的导数f'(x)的图像是如图所示的一条直线l,所以f(x)是对称轴为x=1且开口向下的抛物线,故f(0)=f(2).

答案:C

3.若定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f'(x)>f(x),则f(2 017)与e·f(2 016)的大小关系为 (　　)

A.f(2 017)<e·f(2 016)

B.f(2 017)=e·f(2 016)

C.f(2 017)>e·f(2 016)

D.不能确定

解析:构造函数g(x)=,则g'(x)=,

因为f'(x)>f(x),

所以g'(x)>0,即函数g(x)在R上是增加的,则,f(2017)>e·f(2016).

答案:C

4.已知函数f(x)=ln x-ax2-x,若在区间(1,2)内任意两个实数p,q(p≠q),不等式>0恒成立,则实数a的取值范围为(　　)

A.(-∞,2] B.

C.(-∞,0] D.

解析:任意两个实数p,q(p≠q),不等式>0恒成立,即函数f(x)在(1,2)上是增加的,因此当x∈(1,2)时,f'(x)≥0恒成立,即ax-1≥0恒成立,由此得a≤,而g(x)=在(1,2)上满足g(x)>-,所以a≤-.

答案:B

5.已知函数f(x)=-x2+4x-3ln x在[t,t+1]上不单调,则t的取值范围是　　　　　. 

解析:由题意知f'(x)=-x+4-=-.由f'(x)=0得x=1或x=3.

因为函数f(x)在区间[t,t+1]上不单调,

所以t<1<t+1或t<3<t+1,

解得0<t<1或2<t<3.

答案:(0,1)∪(2,3)

6.若函数f(x)图像上任意一点(x0,f(x0))处的切线斜率k=ln x0-2,则f(x)的递增区间是　　　　　　　. 

解析:由题意得f'(x)=lnx-2,

令f'(x)=lnx-2>0,得x>e2,

所以f(x)的递增区间是(e2,+∞).

答案:(e2,+∞)

7.导学号01844043已知函数f(x)=-2x2+ln x(a>0).若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则a的取值范围是　　　　　. 

解析:f'(x)=-4x+,若函数f(x)在[1,2]上为单调函数,则f'(x)=-4x+≥0或f'(x)=-4x+≤0在[1,2]上恒成立,即≥4x-≤4x-在[1,2]上恒成立.令h(x)=4x-,则h(x)在[1,2]上是增加的,所以≥h(2)或≤h(1),即≤3,又a>0,所以0<a≤或a≥1.

答案:∪[1,+∞)

8.导学号01844044设函数f(x)=aln x+,其中a为常数.

(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)讨论函数f(x)的单调性.

解(1)由题意知a=0时,f(x)=,x∈(0,+∞).

此时f'(x)=.可得f'(1)=,又f(1)=0,所以曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为x-2y-1=0.

(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞).

f'(x)=.

当a≥0时,f'(x)>0,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的.

当a<0时,令g(x)=ax2+(2a+2)x+a,

由于Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1),

①当a=-时,Δ=0,f'(x)=≤0,函数f(x)在(0,+∞)上是减少的.

②当a<-时,Δ<0,g(x)<0,

f'(x)<0,函数f(x)在(0,+∞)上是减少的.

③当-<a<0时,Δ>0.

设x1,x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点,

则x1=,

x2=.

由x1=>0,

所以x∈(0,x1)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)是减少的;x∈(x1,x2)时,g(x)>0,f'(x)>0,函数f(x)是增加的;x∈(x2,+∞)时,g(x)<0,f'(x)<0,函数f(x)是减少的.

综上可得,当a≥0时,函数f(x)在(0,+∞)上是增加的;当a≤-时,函数f(x)在(0,+∞)上是减少的;当-<a<0时,f(x)在上是减少的,在上是增加的.