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    高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值训练含解析北师大版选修1_1

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    这是一份高中数学第四章导数应用4.1.2函数的极值训练含解析北师大版选修1_1,共9页。

    1.2 函数的极值

    A

    1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,a的值是 (  )

                    

    A.0 B.1

    C.5 D.6

    解析:f(x)=2x3-3x2+a,

    f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).

    f'(x)=0,x=0x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.

    答案:D

    2.函数y=x4-x3的极值点的个数为(  )

    A.0 B.1

    C.2 D.3

    解析:y'=x3-x2=x2(x-1),

    y'=0x1=0,x2=1.

    x变化时,y',y的变化情况如下表:

    x

    (-,0)

    0

    (0,1)

    1

    (1,+)

    y'

    -

    0

    -

    0

    +

    y

    无极值

    极小值

     

    因此函数只有一个极值点.

    答案:B

    3.下列函数中,x=0是其极值点的是(  )

    A.y=-x3 B.y=-cos x

    C.y=sin x-x D.y=

    解析:A.y'=-3x20恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.

    B.y'=sinx,-π<x<0时函数是减少的,0<x<π时函数是增加的,且当x=0,y'=0,B符合.

    C.y'=cosx-10恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.

    D.x=0不在y=的定义域内.

    答案:B

    4.已知函数f(x)=x3+mx2+(m+6)x+1既存在极大值又存在极小值,则实数m的取值范围是(  )

    A.(-1,2)

    B.(-,-3)(6,+)

    C.(-3,6)

    D.(-,-1)(2,+)

    解析:由已知得方程f'(x)=0,3x2+2mx+(m+6)=0有两个不同的实数根,Δ>0m的取值范围为(-,-3)(6,+).

    答案:B

    5.已知a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2x=1处有极值,t=ab,t的最大值为(  )

    A.2 B.3

    C.6 D.9

    解析:f(x)=4x3-ax2-2bx+2,

    f'(x)=12x2-2ax-2b.

    f(x)x=1处取得极值,

    f'(1)=12-2a-2b=0,a2+24b>0.

    a+b=6,t=ab=9(当且仅当a=b=3时等号成立),tmax=9,故选D.

    答案:D

    6.函数f(x)=(aR)的极大值等于     . 

    解析:f'(x)=,

    f'(x)=0,x=e1-a,0<x<e1-a,f'(x)>0;

    x>e1-a,f'(x)<0,

    所以函数的极大值等于f(e1-a)==ea-1.

    答案:ea-1

    7.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为     . 

    解析:由题意,f'(x)=3x2+2x-a,f'(-1)f'(1)<0,(1-a)(5-a)<0,解得1<a<5,另外,a=1,函数f(x)=x3+x2-x-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,a=5,函数f(x)=x3+x2-5x-4在区间(-1,1)没有极值点.故实数a的取值范围为[1,5).

    答案:[1,5)

    8.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+4x=1处取得极值.

    (1)a,b的值;

    (2)求函数的另一个极值.

    (1)因为f(x)=x3+ax2+bx+4,

    所以f'(x)=3x2+2ax+b.

    依题意可得f'(1)=0,f(1)=,

    解得a=-,b=-2.

    (2)(1)f(x)=x3-x2-2x+4,f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1).

    f'(x)=0,x=-x=1,

    x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

    x

    -

    1

    (1,+)

    f'(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    f(x)

    极大值

    极小值

     

    所以函数的另一个极值在x=-处取得,是极大值,极大值为f.

    9.导学号01844045已知二次函数f(x)=ax2+bx-1x=-1处取得极值,f(x)的图像在点(0,-1)处的切线与直线2x-y=0平行.

    (1)f(x)解析式;

    (2)求函数g(x)=xf(x)+2x的极值.

    (1)f(x)=ax2+bx-1,f'(x)=2ax+b.

    由题设,可得

    解得

    所以f(x)=x2+2x-1.

    (2)(1),g(x)=xf(x)+2x=x3+2x2+x,

    所以g'(x)=3x2+4x+1=(3x+1)(x+1).

    g'(x)=0,解得x=-1x=-,

    x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:

    x

    (-,-1)

    -1

    -

    g'(x)

    +

    0

    -

    0

    +

    g(x)

    极大值

    极小值

     

    所以g(x)的极大值为g(-1)=-1+2-1=0,极小值为g=-=-.

    B

    1.设函数f(x)=xex,(  )

    A.x=1f(x)的极大值点

    B.x=1f(x)的极小值点

    C.x=-1f(x)的极大值点

    D.x=-1f(x)的极小值点

    解析:求导得f'(x)=ex+xex=ex(x+1),f'(x)=ex(x+1)=0,解得x=-1,x<-1,f'(x)<0;x>-1,f'(x)>0,从而x=-1是函数f(x)的极小值点.

    答案:D

    2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0),f(x)的极大值、极小值分别为(  )

    A.,0 B.0,

    C.-,0 D.0,-

    解析:f'(x)=3x2-2px-q,

    f'(1)=0,f(1)=0,

    解得

    f(x)=x3-2x2+x.

    f'(x)=3x2-4x+1=0,x=x=1,

    易得当x=f(x)取极大值.

    x=1f(x)取极小值0.

    答案:A

    3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,a的取值范围是(  )

    A.-1<a<2 B.-3<a<6

    C.a<-1a>2 D.a<-3a>6

    解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6,

    f(x)有极大值与极小值,

    f'(x)=0有两不等实根,

    Δ=4a2-12(a+6)>0,

    a<-3a>6.

    答案:D

    4.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,a的取值范围是     . 

    解析:f'(x)=3x2-3,3x2-3=0x=1x=-1,x<-1,x>1,f'(x)>0,f(x)是增加的;-1<x<1,f'(x)<0,f(x)是减少的.

    x=-1,f(x)取到极大值f(-1)=2,x=1,f(x)取到极小值f(1)=-2,

    欲使直线y=a与函数f(x)的图像有相异的三个公共点,应有-2<a<2.

    答案:(-2,2)

    5.已知实数a,b,c,d成等比数列,且曲线y=3x-x3的极大值点坐标为(b,c),ad=     . 

    解析:y'=3-3x2,y'=0x=±1,

    且当x>1,y'<0,-1x1,y'0,

    x<-1,y'<0,

    x=1y=3x-x3的极大值点,b=1.

    c=3b-b3=3×1-1=2,

    bc=2.

    a,b,c,d成等比数列,

    ad=bc=2.

    答案:2

    6.导学号01844046(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(aR)x=-处取得极值.

    (1)确定a的值;

    (2)g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.

    (1)f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)x=-处取得极值,所以f'=0,

    3a·+2·=0,

    解得a=.

    (2)(1)g(x)=ex,

    g'(x)=ex+ex

    =ex

    =x(x+1)(x+4)ex.

    g'(x)=0,解得x=0,x=-1x=-4.

    x<-4,g'(x)<0,g(x)是减少的;

    -4<x<-1,g'(x)>0,g(x)是增加的;

    -1<x<0,g'(x)<0,g(x)是减少的;

    x>0,g'(x)>0,g(x)是增加的.

    综上知g(x)(-,-4)(-1,0)上是减少的,(-4,-1)(0,+)上是增加的.

    7.导学号01844047设函数f(x)=x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4.

    (1)a=3且曲线y=f(x)过原点时,f(x)解析式;

    (2)f(x)(-,+)内无极值点,a的取值范围.

    f(x)=x3+bx2+cx+d,f'(x)=ax2+2bx+c.

    因为f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以(*)

    (1)a=3,(*)式得

    解得b=-3,c=12.

    又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0.

    f(x)=x3-3x2+12x.

    (2)因为a>0,所以f(x)=x3+bx2+cx+d(-,+)内无极值点等价于f'(x)=ax2+2bx+c0(-,+)内恒成立.

    (*)式得2b=9-5a,c=4a.

    Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),

    a[1,9],

    a的取值范围是[1,9].

     

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