高中数学第四章导数应用4.2导数在实际问题中的应用训练含解析北师大版选修1_1

§2　导数在实际问题中的应用

A组

1.设函数g(x)=x(x2-1),则g(x)在区间[0,1]上的最小值为(　　)

A.-1 B.0 C.- D.

解析:g(x)=x3-x,由g'(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).

当x变化时,g'(x)与g(x)的变化状态如下表:

所以当x=时,g(x)有最小值g=-.

答案:C

2.函数y=f(x)=ln x-x在区间(0,e]上的最大值为(　　)

A.-e B.1-e C.-1 D.0

解析:y'=-1,令y'=0,∴x=1,列表如下:

由于f(e)=1-e,而-1>1-e,从而y最大值=f(1)=-1.

答案:C

3.函数y=f(x)=(　　)

A.有最大值2,无最小值

B.无最大值,有最小值-2

C.最大值为2,最小值为-2

D.无最值

解析:y'=,令y'=0,得x=±1,容易验证当x=-1时,函数取极小值f(-1)=-2,当x=1时,函数取极大值f(1)=2,此即为函数的最小值和最大值.

答案:C

4.某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总收益R与年产量x的关系是R=R(x)=则总利润P最大时,每年生产的产品是(　　)

A.100单位 B.150单位 C.200单位 D.300单位

解析:由题意知,总成本为C=20000+100x.

而总利润为P=P(x)=R-C

=

P'(x)=

令P'(x)=0,得x=300,易知当x=300时,总利润最大.

答案:D

5.某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与存款利率成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益时,存款利率为(　　)

A.0.012 B.0.024

C.0.032 D.0.036

解析:由题意,存款量g(x)=kx(k>0),银行应支付的利息h(x)=xg(x)=kx2,x∈(0,0.048).

设银行可获得的收益为y,则y=0.048kx-kx2.

于是y'=0.048k-2kx,令y'=0,解得x=0.024,

依题意知y在x=0.024处取得最大值.

故银行获得最大收益时,存款利率为0.024.

答案:B

6.已知a为实数,函数f(x)=(x2-4)(x-a),若f'(-1)=0,则函数f(x)在[-2,2]上的最大值为　　　　　. 

解析:f'(x)=2x(x-a)+(x2-4)=3x2-2ax-4,

因为f'(-1)=0,所以3+2a-4=0,解得a=,

于是f'(x)=3x2-x-4=(x+1)(3x-4).

令f'(x)=0,得x=-1或x=,

比较f(-2),f(-1),f,f(2)可得函数f(x)在[-2,2]上的最大值为f(-1)=.

答案:

7.已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a,若f(x)在区间[-2,2]上的最大值为20,则它在该区间上的最小值等于　　　　　. 

解析:因为f(-2)=8+12-18+a=2+a,f(2)=-8+12+18+a=22+a,

所以f(2)>f(-2).

因为在(-1,3)上f'(x)>0,所以f(x)在[-1,2]上是增加的.

又由于f(x)在[-2,-1]上是减少的,因此f(2)和f(-1)分别是f(x)在区间[-2,2]上的最大值和最小值.

于是有22+a=20,解得a=-2.

故f(x)=-x3+3x2+9x-2.

因此f(-1)=1+3-9-2=-7,即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7.

答案:-7

8.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小值时t的值为　　　　　. 

解析:因为f(x)的图像始终在g(x)的上方,所以|MN|=f(x)-g(x)=x2-lnx,设h(x)=x2-lnx,则h'(x)=2x-,令h'(x)==0,得x=,所以h(x)在上是减少的,在上是增加的,所以当x=时有最小值,故t=.

答案:

9.导学号01844048已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.

(1)求a,b的值;

(2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值.

解(1)依题意可知点P(1,f(1))为切点,代入切线方程y=3x+1,可得f(1)=3×1+1=4,

所以f(1)=1+a+b+5=4,即a+b=-2.

又由f(x)=x3+ax2+bx+5,得

f'(x)=3x2+2ax+b,

而由切线方程y=3x+1的斜率可知f'(1)=3,

因此3+2a+b=3,即2a+b=0,

由解得故a=2,b=-4.

(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,

f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2),

令f'(x)=0,得x=或x=-2.

当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:

因此f(x)的极大值为f(-2)=13,极小值为f.

又f(-3)=8,f(1)=4,

故f(x)在[-3,1]上的最大值为13.

10.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距a m,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x m的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2+)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式;

(2)当a=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?

解(1)设需要新建b个桥墩,则(b+1)x=a,

即b=-1.

因此,y=f(x)=256b+(b+1)(2+)x

=256(2+)x

=+a+2a-256.

(2)由(1)知,f'(x)=-

=.

令f'(x)=0,得=512,

所以x=64.

当0<x<64时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,64)上是减少的;

当64<x<640时,f'(x)>0,f(x)在区间(64,640)上是增加的,

所以f(x)在x=64处取得最小值.

此时,b=-1=-1=9.

即需新建9个桥墩才能使y最小.

B组

1.一质点沿直线运动,如果由始点起经过t秒后的距离为s=t3-2t2,那么速度为0的时刻是(　　)

A.1秒末 B.0秒 

C.2秒末 D.0秒或1秒末

解析:由题意可得v(t)=s'=4t2-4t,令v(t)=s'=0,解得t1=0,t2=1.

答案:D

2.已知函数f(x)=(2x-x2)ex,给出下列判断:①f(x)>0的解集是{x|0<x<2};②f(-)是极小值,f()是极大值;③f(x)没有最小值,也没有最大值,其中判断正确的是(　　)

A.①③ B.①②③

C.② D.①②

解析:由f(x)>0,得2x-x2>0,所以0<x<2,故①正确;

f'(x)=[(2x-x2)ex]'=ex(2-2x+2x-x2)=ex(2-x2),

令f'(x)=0,得x=±,容易验证f(-)是极小值,f()是极大值,所以②正确;③不正确.

答案:D

3.在三棱锥O-ABC中,OA,OB,OC两两垂直,OC=2x,OA=x,OB=y,且x+y=3,则三棱锥O-ABC体积的最大值为(　　)

A.4 B.8 C. D.

解析:V=·y=

=(0<x<3),

V'==2x-x2=x(2-x).

令V'=0,得x=2或x=0(舍去).

故当x=2时,V最大为.

答案:C

4.若函数f(x)=在[-2,2]上的最大值为2,则实数a的取值范围是(　　)

A. B.

C.(-∞,0] D.

解析:当x≤0时,f'(x)=6x2+6x,易知函数f(x)在(-∞,0]上的最大值点是x=-1,且f(-1)=2,故只要在(0,2]上,eax≤2恒成立即可,即ax≤ln2在(0,2]上恒成立,即a≤在(0,2]上恒成立,故a≤ln2.

答案:D

5.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为(　　)

A.2和6 B.4和4 

C.3和5 D.以上都不对

解析:设一个数为x,则另一个数为8-x,其立方和y=x3+(8-x)3=83-192x+24x2且0≤x≤8,y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y'<0;当4<x≤8时,y'>0,所以当x=4时,y取得极小值,也是最小值.

答案:B

6.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为　　　　　. 

解析:y'=x2-39x-40=(x-40)(x+1),令y'=0得x=40,且当0<x<40时,y'<0;当x>40时,y'>0,所以当x=40时,y取最小值,即速度为40时,耗电量最小.

答案:40

7.导学号01844049设函数f(x)=ln x-ax2+(a-2)x(a∈R),求函数f(x)在区间[a2,a]上的最大值.

解因为a2<a,所以0<a<1.

f'(x)=-2ax+a-2=-.

因为x∈(0,+∞),所以ax+1>0,

所以f(x)在上是增加的,在上是减少的.

①当0<a≤时,f(x)在[a2,a]上是增加的,

所以f(x)max=f(a)=lna-a3+a2-2a;

②当<a<时,f(x)在上是增加的,在上是减少的,

所以f(x)max=f-1-ln2;

③当≤a2,即≤a<1时,f(x)在[a2,a]上是减少的,

所以f(x)max=f(a2)=2lna-a5+a3-2a2.

综上,当0<a≤时,函数f(x)在[a2,a]上的最大值是lna-a3+a2-2a;

当<a<时,函数f(x)在[a2,a]上的最大值是-1-ln2;

当≤a<1时,函数f(x)在[a2,a]上的最大值是2lna-a5+a3-2a2.

8.导学号01844050近年来,网校教学越来越受到广大学生的喜爱,它已经成为学生们课外学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量y(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足关系式y=+4(x-6)2,其中2<x<6,m为常数.已知当销售价格为4元/套时,每日可售出套题21千套.

(1)求m的值;

(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题2元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留1位小数).

解(1)因为当x=4时,y=21,

代入关系式y=+4(x-6)2,得+16=21,解得m=10.

(2)由(1)可知套题每日的销售量y=+4(x-6)2,

所以每日销售套题所获得的利润f(x)=(x-2)·=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2<x<6),

从而f'(x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2<x<6).

令f'(x)=0,得x=或x=6(舍去),且在上,f'(x)>0,函数f(x)是增加的;在上,f'(x)<0,函数f(x)是减少的,所以x=是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=≈3.3时,函数f(x)取得最大值.

故当销售价格为3.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.