高考数学统考一轮复习课时作业49双曲线文含解析新人教版

这是一份高考数学统考一轮复习课时作业49双曲线文含解析新人教版，共9页。

一、选择题
1．[2021·开封市高三模拟试卷]关于渐近线方程为x±y＝0的双曲线有下述四个结论：①实轴长与虚轴长相等，②离心率是eq \r(2)，③过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长与实轴长相等，④顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为eq \r(2).其中所有正确结论的编号是( )
A．①②B．①③
C．①②③D．②③④
2．[2021·合肥市高三调研性检测]已知双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，实轴长为4，则该双曲线的方程为( )
A.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,8)＝1D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1
3．[2020·浙江卷]已知点O(0,0)，A(－2,0)，B(2,0)．设点P满足|PA|－|PB|＝2，且P为函数y＝3eq \r(4－x2)图象上的点，则|OP|＝( )
A.eq \f(\r(22),2)B.eq \f(4\r(10),5)
C.eq \r(7)D.eq \r(10)
4．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]设双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的两条渐近线的夹角为α，且csα＝eq \f(1,3)，则C的离心率为( )
A.eq \f(\r(5),2)B.eq \f(\r(6),2)
C.eq \f(\r(7),2)D．2
5．[2021·安徽安庆模拟]点F1、F2分别是双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1的左、右焦点，直线4x－y－12＝0与该双曲线交于两点P，Q，则|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝( )
A．4eq \r(2)B．4
C．2eq \r(2)D．2
6．[2021·唐山市高三年级摸底考试]双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F，点P为C的一条渐近线上的点，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则S△OPF＝( )
A.eq \f(1,4)B.eq \f(1,2)
C．1D．2
7．[2021·广州市高三年级阶段训练题]已知F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－y2＝1(a＞0)的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，若|AB|＝eq \r(2)，则△ABF2的内切圆的半径为( )
A.eq \f(\r(2),3)B.eq \f(\r(3),3)
C.eq \f(2\r(2),3)D.eq \f(2\r(3),3)
8．[2021·山西省八校高三联考]已知双曲线E：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，双曲线E的一条渐近线上一点M满足|eq \(MF,\s\up6(→))|＝2b，若点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，则双曲线E的实轴长为( )
A．2eq \r(3)B．3
C．4eq \r(3)D.eq \f(3,2)
9．[2021·福建省高三毕业班质量检查测试]若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，eq \r(2)) B．(1，eq \r(3))
C．(eq \r(2)，＋∞) D．(eq \r(3)，＋∞)
10．[2020·全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为( )
A．4B．8
C．16D．32
二、填空题
11．[2021·武汉市高中毕业生学习质量检测]已知以x±2y＝0为渐近线的双曲线经过点(4,1)，则该双曲线的标准方程为________________．
12．已知双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1，则C的右焦点的坐标为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．
13．[2021·惠州市高三调研考试试题]已知双曲线C1：eq \f(x2,4)－y2＝1，双曲线C2：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线C1与C2的离心率相同，点M在双曲线C2的一条渐近线上，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若S△OMF2＝16，求双曲线C2的实轴长是________．
14．[2021·安徽省示范高中名校高三联考]双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y＝eq \f(b,a)x，垂足为点A，与双曲线交于点B，若eq \(F2B,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，则该双曲线的离心率为________．
[能力挑战]
15．[2021·黄冈中学、华师附中等八校联考]在△ABC中，A，B分别是双曲线E的左、右焦点，点C在E上，若eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，则双曲线E的离心率为( )
A.eq \r(5)－1B.eq \r(2)＋1
C.eq \f(\r(2)－1,2)D.eq \f(\r(2)＋1,2)
16．[2021·河北省九校联考试题]已知F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点P，使得点F2到直线PF1的距离为a，则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(5),2)))B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),2)，＋∞))
C．(1，eq \r(5)) D．(eq \r(5)，＋∞)
17．[2021·江西省名校高三教学质量检测]已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，若△ABF2的周长为24，则当ab2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A．1B.eq \r(2)
C．2D．2eq \r(2)
课时作业49
1．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，故此双曲线为等轴双曲线，即a＝b，c＝eq \r(2)a，则离心率e＝eq \r(2)，故①②均正确．过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为2×eq \f(b2,a)＝2a，故等于实轴长，③正确．不妨取一个顶点(a,0)，其到渐近线x±y＝0的距离d1＝eq \f(a,\r(2))＝eq \f(\r(2),2)a，焦点到渐近线的距离d2＝b，又a＝b，所以eq \f(d1,d2)＝eq \f(\r(2),2)，故④错误．综上可知，正确结论的编号为①②③，故选C.
答案：C
2．解析：因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(2),2)x，a＝2，所以当焦点在x轴上时，eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2)，所以b＝eq \r(2)，所以双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1；当焦点在y轴上时，eq \f(a,b)＝eq \f(\r(2),2)，所以b＝2eq \r(2)，所以双曲线的方程为eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1.综上所述，该双曲线的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1或eq \f(y2,4)－eq \f(x2,8)＝1，故选D.
答案：D
3．解析：由|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－eq \f(y2,3)＝1(x≥1)，又y＝3eq \r(4－x2)，所以x2＝eq \f(13,4)，y2＝eq \f(27,4)，所以|OP|＝eq \r(x2＋y2)＝ eq \r(\f(13,4)＋\f(27,4))＝eq \r(10)，故选D.
答案：D
4．解析：∵a＞b＞0，∴渐近线y＝eq \f(b,a)x的斜率小于1，∵两条渐近线的夹角为α，且cs α＝eq \f(1,3)，∴cs2eq \f(α,2)＝eq \f(2,3)，sin2eq \f(α,2)＝eq \f(1,3)，tan2eq \f(α,2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,2)，∴eq \f(c2－a2,a2)＝eq \f(1,2)，∴e2＝eq \f(3,2)，e＝eq \f(\r(6),2).故选B.
答案：B
5．解析：因为双曲线x2－eq \f(y2,8)＝1的右焦点是F2(3,0)，所以直线4x－y－12＝0经过点F2(3,0)，又知P，Q两点在右支上，于是由双曲线定义可知，|F1P|＋|F1Q|－|PQ|＝|F1P|－|F2P|＋|F1Q|－|F2Q|＝2a＋2a＝4.故选B.
答案：B
6．解析：由题意可知F(2,0)，双曲线C是等轴双曲线，所以其渐近线方程y＝±x，因为点P在渐近线上，且|PO|＝|PF|，所以点P(1,1)或P(1，－1)，所以S△OPF＝eq \f(1,2)×2×1＝1，故选C.
答案：C
7．解析：由双曲线方程知b＝1.由通径公式，知eq \f(2b2,a)＝eq \r(2)，所以a＝eq \r(2)，所以c＝eq \r(3).由双曲线的定义，知|AF2|－|AF1|＝|BF2|－|BF1|＝2a，所以|AF2|＝2a＋|AF1|，|BF2|＝2a＋|BF1|，所以|AF2|＋|BF2|＝4a＋|AF1|＋|BF1|＝5eq \r(2).设△ABF2的内切圆半径为r，则eq \f(1,2)r·(|AF2|＋|BF2|＋|AB|)＝eq \f(1,2)·|AB|·|F1F2|，即r·6eq \r(2)＝eq \r(2)×2eq \r(3)，解得r＝eq \f(\r(3),3)，故选B.
答案：B
8．解析：由题意得，右焦点F(c,0)，由点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))满足|eq \(MF,\s\up6(→))|＝2b，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq \f(9,4)＝4b2.由渐近线y＝eq \f(b,a)x过点Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)，\f(3,2)))，得a＝eq \r(3)b，又c2＝a2＋b2，所以4b2＝c2，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(3),2)－c))2＋eq \f(9,4)＝c2，所以c＝eq \r(3)，从而a＝eq \f(3,2)，故双曲线E的实轴长2a＝3，故选B.
答案：B
9．解析：不妨设双曲线的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，由题意可得双曲线的渐近线与x轴的夹角大于45°，即eq \f(b,a)＞1，所以b2＞a2，所以c2－a2＝b2＞a2，所以c2＞2a2，所以该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＞eq \r(2).
答案：C
10．解析：直线x＝a与双曲线C的两条渐近线y＝±eq \f(b,a)x分别交于D、E两点，则|DE|＝|yD－yE|＝2b，所以S△ODE＝eq \f(1,2)·a·2b＝ab，即ab＝8.所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16(当且仅当a＝b时取等号)，即cmin＝4，所以双曲线的焦距2c的最小值为8，故选B.
答案：B
11．解析：由x±2y＝0得x2－4y2＝0，设所求双曲线的方程为x2－4y2＝λ，因为点(4,1)在双曲线上，所以42－4＝λ，即λ＝12，所以该双曲线的方程为x2－4y2＝12，故该双曲线的标准方程为eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1.
答案：eq \f(x2,12)－eq \f(y2,3)＝1
12．解析：双曲线C：eq \f(x2,6)－eq \f(y2,3)＝1中，c2＝6＋3＝9，∴c＝3，则C的右焦点的坐标为(3,0)，C的渐近线方程为y＝±eq \f(\r(3),\r(6))x，即y＝±eq \f(1,\r(2))x，即x±eq \r(2)y＝0，则C的焦点到其渐近线的距离d＝eq \f(3,\r(3))＝eq \r(3).
答案：(3,0) eq \r(3)
13．解析：解法一 双曲线C1：eq \f(x2,4)－y2＝1的离心率为eq \f(\r(5),2).由题意知F2(c,0)，双曲线C2的一条渐近线方程为y＝eq \f(b,a)x，可得|F2M|＝eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，即有|OM|＝eq \r(c2－b2)＝a，由S△OMF2＝16，可得eq \f(1,2)ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2且离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，所以a＝8，b＝4，c＝4eq \r(5)，所以双曲线C2的实轴长为2a＝16.
解法二 依题意，由双曲线C1与C2的离心率相同，得eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，即a＝2b ①.由双曲线的焦点到渐近线的距离等于其虚半轴长，得|F2M|＝b，所以|OM|＝eq \r(c2－b2)＝a.又△OMF2的面积为16，所以eq \f(1,2)ab＝16，ab＝32 ②，由①②解得b＝4，a＝8，故双曲线C2的实轴长为2a＝16.
答案：16
14．解析：解法一 由题意知，直线F2A的方程为y＝－eq \f(a,b)(x－c)，与直线y＝eq \f(b,a)x联立得交点A的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).又eq \(F2B,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，所以B为线段F2A的中点，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c2＋a2,2c)，\f(ab,2c)))，因为点B在双曲线上，所以代入双曲线方程得b2×eq \f((c2＋a2)2,4c2)－a2×eq \f(a2b2,4c2)＝a2b2，得c2＝2a2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2).
解法二 由题意可知F2A⊥OA(O为坐标原点)，由于焦点到渐近线的距离为b，所以|AF2|＝b，且|OF2|＝c，所以|OA|＝a，且cs∠OF2A＝eq \f(b,c).由eq \(F2B,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))，知B为线段F2A的中点，所以|BF2|＝eq \f(b,2)，又点B在双曲线上，所以|BF1|－|BF2|＝2a，则|BF1|＝2a＋eq \f(b,2).在△BF1F2中，由余弦定理|BF1|2＝|F1F2|2＋|BF2|2－2|F1F2||BF2|cs∠OF2A，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2a＋\f(b,2)))2＝4c2＋eq \f(b2,4)－2×2c×eq \f(b,2)×eq \f(b,c)，化简得a＝b，所以e＝eq \r(2).
答案：eq \r(2)
15．解析：
解法一 不妨令C为第一象限的点，如图，作AD∥BC，CD∥AB，连接BD，由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四边形ABCD是正方形．所以C(c,2c)，设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，因为点C在双曲线E上，所以eq \f(c2,a2)－eq \f(4c2,b2)＝1，又b2＝c2－a2，所以c4－6a2c2＋a4＝0，因为e＝eq \f(c,a)＞1，所以e4－6e2＋1＝0，解得e2＝3＋2eq \r(2)或e2＝3－2eq \r(2)(舍去)，所以e＝eq \r(2)＋1，故选B.
解法二 设双曲线E的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，不妨令C为第一象限的点，如图，作AD∥BC，CD∥AB，连接BD，由eq \(BA,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→))＝0，(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))·eq \(AC,\s\up6(→))＝0，可得BC⊥AB，AC⊥BD，故四边形ABCD是正方形．所以2|OB|＝|BC|，所以2c＝eq \f(b2,a)，因为c2＝a2＋b2，所以b2＝c2－a2＝2ac，即c2－2ac－a2＝0，因为e＝eq \f(c,a)＞1，所以e2－2e－1＝0，所以e＝eq \r(2)＋1，故选B.
答案：B
16．解析：双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.设直线PF1的方程为y＝k(x＋c)，因为点P在双曲线的右支上，所以|k|＜eq \f(b,a)，F2(c,0)到直线PF1的距离d＝eq \f(2|kc|,\r(k2＋1))＝a，解得k2＝eq \f(a2,4c2－a2)＝eq \f(a2,3c2＋b2)，根据k2＜eq \f(b2,a2)，得a4＜3b2c2＋b4，所以a4－b4＝(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2－b2)c2＜3b2c2，则a2－b2＜3b2，即eq \f(b2,a2)＞eq \f(1,4)，所以e2＝1＋eq \f(b2,a2)＞eq \f(5,4)，则e＞eq \f(\r(5),2)，故选B.
答案：B
17．解析：由题意得，|AF1|＋|BF1|＝|AB|＝eq \f(2b2,a) ①，由双曲线的定义，得|AF2|－|AF1|＝2a ②，|BF2|－|BF1|＝2a ③，由①②③，得|AF2|＋|BF2|＝4a＋eq \f(2b2,a).因为△ABF2的周长为24，即4a＋eq \f(4b2,a)＝24，得b2＝6a－a2，得ab2＝6a2－a3.令f(a)＝6a2－a3(0＜a＜6)，则f′(a)＝12a－3a2，令f′(a)＝0，得a＝0或a＝4，所以当a∈(0,4)时f′(a)＞0；当a∈(4,6)时，f′(a)＜0.所以f(a)在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当a＝4时，f(a)取得最大值，此时b2＝6×4－42＝8，得b＝2eq \r(2).取该双曲线的焦点F2(c,0)，渐近线l：bx－ay＝0，则该双曲线的焦点到渐近线的距离d＝eq \f(|bc|,\r(b2＋(－a)2))＝b＝2eq \r(2).
答案：D