高考数学经典例题专题二函数含解析

这是一份高考数学经典例题专题二函数含解析，共27页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题等内容，欢迎下载使用。
专题二 函数一、单选题1．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（    ）A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为，，故至少需要志愿者名.故选：B2．设函数,则（    ）A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【解析】根据函数的解析式可知函数的定义域为，利用定义可得出函数为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【详解】因为函数定义域为，其关于原点对称，而，所以函数为奇函数．又因为函数在上单调递增，在上单调递增，而在上单调递减，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递增．故选：A．3．设，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.4．在同一直角坐标系中，函数且的图象可能是（  ）A． B．C． D． 【答案】D【解析】当时，函数过定点且单调递减，则函数过定点且单调递增，函数过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数过定点且单调递增，则函数过定点且单调递减，函数过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．5．已知函数，则不等式的解集是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【解析】作出函数和的图象，观察图象可得结果.【详解】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.6．设，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7．函数在的图像大致为（  ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，所以是奇函数，图象关于原点成中心对称，排除选项C．又排除选项D；，排除选项A，故选B．8．已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.9．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】将不等式变为，根据的单调性知，以此去判断各个选项中真数与的大小关系，进而得到结果.【详解】由得：，令，为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，，，，，则A正确，B错误；与的大小不确定，故CD无法确定.故选：A.10．设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.11．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是（   ）A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.12．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （    ）A．1.2天 B．1.8天C．2.5天 D．3.5天【答案】B【解析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.13．若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【详解】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，所以在上也是单调递减，且，，所以当时，，当时，，所以由可得：或或解得或，所以满足的的取值范围是，故选：D.14．已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.         15．若，则（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，利用作差法结合的单调性即可得到答案.【详解】设，则为增函数，因为所以，所以，所以.，当时，，此时，有当时，，此时，有，所以C、D错误.故选：B.16．已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【解析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.17．已知函数则不等式的解集是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】作出函数以及的大致图象，数形结合即可求解.【详解】在同一坐标系中，作出函数以及的大致图象， 观察的区域，由图象可知，在区间和上，由此的解集.故选：A18．已知，则的大小关系（    ）A．a>c>b B．b>a>cC．c>a>b D．c>b>a【答案】C【解析】利用对数的运算性质分别对进行化简，再由中间量1，2比较大小，从而可比较出的大小【详解】解：因为，所以有，即，而，即，又因为，所以.故选：C19．已知是定义域为的奇函数,满足.若，则（   ）A． B． C． D．【答案】C【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果.详解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.20．已知定义在上的幂函数（为实数）过点，记，，，则的大小关系为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先求出，得到函数的单调性，再利用对数函数的图象性质得到，即得解.【详解】由题得.函数是上的增函数.因为，，所以，所以，所以.故选：A21．已知，若定义表示不超过的最大整数，如，，，若正实数，，满足，则（    ）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】令，化为对数式，利用对数的换底公式可得，根据基本不等式可得，由，可得，从而可得，再根据的定义可得结果.【详解】令，可得，，，，∵，而且，，所以，取整后为4，故选：B.22．酒驾是严重危害交通安全的违法行为．根据规定：驾驶员的血液中酒精含量为，不构成饮酒驾车行为（不违法），达到的即为酒后驾车，及以上为醉酒驾车．某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了，若在停止喝酒后，他血液中酒精含量每小时减少，要想不构成酒驾行为，那么他至少经过（    ）（参考数据：）A．4小时 B．6小时 C．8小时 D．10小时【答案】D【解析】根据题意求出经过小时后，他血液中酒精含量，再根据不构成酒驾行为的定义列式，利用指数函数的单调性，结合参考数据可求得结果.【详解】依题意可知，在停止喝酒且经过小时后，他血液中酒精含量为，要想不构成酒驾行为，必有，即，因为为减函数，所以当时，，不符合题意，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，所以要想不构成酒驾行为，那么他至少经过10小时.故选：D23．下列函数中，值域为且为偶函数的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】根据偶函数的定义，结合具体函数的值域进行判断即可.【详解】A：因为函数的值域为，所以本选项不符合题意；B：设，因为，所以该函数不是偶函数，因此不符合题意；C：设，显然，因为，所以该函数是偶函数，故符合题意；D：设，因为，所以该函数是奇函数，故不符合题意,故选：C24．在同一直角坐标系中，函数的图像可能是（   ）A． B．C． D．【答案】D【解析】函数，与，答案A没有幂函数图像，答案B.中，中，不符合，答案C中，中，不符合，答案D中，中，符合，故选D.二、多选题25．若实数，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】构造函数，利用导数可得函数在上单调递减，由可推得A正确，由可推得B正确，当时，作差比较可知C错：作差，利用换底公式变形，再根据基本不等式判断符号，可得D正确.【详解】对A，令，则，当时，，所以函数在上单调递减，因为，所以，所以，所以，所以，故A正确；对B，由A知，函数在上单调递减，因为，所以，所以，即，即，所以，所以，故B正确：对C选项，当时，，故C错：对D，因为，所以，，，，所以，即，故D正确.故选：ABD26．已知，下列选项中正确的为（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】BC【解析】根据指数函数、对数函数的性质,不等式性质判断．【详解】A错，例如满足，便；B正确，，，又，所以，而，所以；C正确，设，，，则，，所以，即．D错误，，，，所以，不一定成立．故选：BC．三、填空题27．已知是奇函数，且当时，.若，则__________.【答案】-3【解析】因为是奇函数，且当时，．又因为，，所以，两边取以为底的对数得，所以，即．28．函数的定义域是____________．【答案】【解析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：29．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.
 给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】根据定义逐一判断，即可得到结果【详解】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③30．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】由复合函数的单调性：同增异减，由于递减，因此必须递增，即有，还要考虑函数定义域，即在时，恒成立．【详解】∵，∴是减函数，又在上单调递减，所以，且，∴．故答案为：．31．（2017·北京高考真题（文））已知,,且,则的取值范围是_____.【答案】【解析】，所以当时，取最大值1；当 时，取最小值.因此的取值范围为. 32．为了贯彻落实习近平总书记在全国教育大会上的讲话精神，2020年中办、国办联合印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》，为落实该文件精神，某中学对女生立定跳远项目的考核要求为：1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分，若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分则该女生经过训练后跳远增加了______米.【答案】0.42【解析】根据所给得分规则求出70分时立定跳远距离，再求出105分时的立定跳远距离，即可求解.【详解】该生成绩为70分时，其立定跳远距离为米，该生成绩为105分时，其立定跳远距离为米，所以增加了米，故答案为：0.42四、双空题33．已知函数，则___________；关于x的不等式的解集是___________.【答案】6        【解析】根据分段函数直接计算可得，然后分类讨论计算可得不等式的解集.【详解】由题可知：，所以①，②所以的解集是故答案为：6，