高考数学一轮复习第六章第三节基本不等式课时作业理含解析北师大版

第三节 基本不等式

授课提示：对应学生用书第335页

[A组　基础保分练]

1．（2021·荆门一中期中测试）函数f（x）＝的最小值为（　　）

A．3　　　 B．4　　　　

C．6　　　 D．8

解析：f（x）＝＝|x|＋≥4，当且仅当x＝±2时取等号，所以f（x）＝的最小值为4．

答案：B

2．（2021·钦州期末测试）已知a，b∈R，a2＋b2＝15－ab，则ab的最大值是（　　）

A．15  B．12 

C．5  D．3

解析：因为a2＋b2＝15－ab≥2ab，所以3ab≤15，即ab≤5，当且仅当a＝b＝±时等号成立．所以ab的最大值为5．

答案：C

3．（2021·烟台期中测试）已知x，y∈R且x－2y－4＝0，则2x＋的最小值为（　　）

A．4  B．8 

C．16  D．256

解析：∵x－2y－4＝0，∴x－2y＝4，∴2x＋≥2＝8，当且仅当x＝2，y＝－1时等号成立，∴2x＋的最小值为8．

答案：B

4．（2021·湖南衡阳期末）已知P是面积为1的△ABC内的一点（不含边界），若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是（　　）

A．  B．

C．  D．3

解析：因为x＋y＋z＝1，0<x<1，0<y<1，0<z<1，所以＋＝＋＝＋＝＋＋1≥2  ＋1＝3，当且仅当＝，即x＝时等号成立，所以＋的最小值为3．

答案：D

5．（2021·北京通州区期中测试）设f（x）＝ln x，0<a<b，若p＝f（），q＝f，r＝（f（a）＋f（b）），则下列关系式中正确的是（　　）

A．q＝r<p  B．q＝r>p

C．p＝r＜q  D．p＝r>q

解析：∵0<a<b，∴<，∵f（x）＝ln x在（0，＋∞）上是增函数，∴f（）<f，又＝ln<ln，

∴<f，∴p＝r<q．

答案：C

6．（2021·鹰潭模拟）已知a＞0，b＞0，a＋b＝＋，则＋的最小值为（　　）

A．4  B．2 

C．8  D．16

解析：因为a＞0，b＞0，所以根据a＋b＝＋＝，可得ab＝1，所以＋≥2＝2，当且仅当b＝2a＝时等号成立．

答案：B

7．已知a>0，b>0，3a＋b＝2ab，则a＋b的最小值为________．

解析：由a>0，b>0，3a＋b＝2ab，得＋＝1，

所以a＋b＝（a＋b）＝2＋＋≥2＋，当且仅当b＝a时等号成立，则a＋b的最小值为2＋．

答案：2＋

8．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：万元）与机器运转时间x（单位：年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N＋），则该公司年平均利润的最大值是　　　　万元．

解析：每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．

答案：8

9．设a，b为正实数，且＋＝2．

（1）求a2＋b2的最小值；

（2）若（a－b）2≥4（ab）3，求ab的值．

解析：（1）由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值是1．

（2）由（a－b）2≥4（ab）3得≥4ab，即－≥4ab，从而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1．

10．首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题．某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为300吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为y＝x2－200x＋45 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元．

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？

解析：（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为x＋－200≥2－200＝100，当且仅当x＝，即x＝300时等号成立，故该单位月处理量为300吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

（2）获利．设该单位每月获利为s元，则

s＝200x－y＝－x2＋400x－45 000＝－（x－400）2＋35 000．因为x∈[300，600]，所以s∈

[15 000，35 000]．故该单位每月获利，最大利润为35 000元．

[B组　能力提升练]

1．（2021·吕梁月考）一元二次不等式ax2＋2x＋b>0（a>b）的解集为，则的最小值是（　　）

A．1  B．2 

C．  D．2

解析：∵一元二次不等式的解集为，∴a>0且Δ＝4－4ab＝0，即ab＝1，且a>b>0，∴＝＝a－b＋≥2，当且仅当a＝，b＝时等号成立，∴的最小值为2．

答案：D

2．设函数f（x）＝x－对任意x∈[－1，1]，都有f（x）≤0成立，则a＝（　　）

A．4  B．3 

C．  D．1

解析：由a－x2≥0对任意x∈[－1，1]恒成立得a≥1；又由f（x）＝x－≤－≤0得a≤1，所以a＝1．

答案：D

3．（2021·吉安期中测试）设正数x，y满足x＋y＝1，若不等式＋≥4对任意的x，y成立，则正实数a的取值范围是（　　）

A．[4，＋∞）  B．（1，＋∞）

C．[1，＋∞）  D．（4，＋∞）

解析：∵x＋y＝1，且x>0，y>0，a>0，∴＋＝（x＋y）＝a＋1＋＋≥a＋1＋2，

∴a＋2＋1≥4，即a＋2－3≥0，解得a≥1．

答案：C

4．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D是边BC上的动点，且||＝3，||＝4，＝λ＋μ（λ>0，μ>0），则当λμ取得最大值时，||的值为（　　）

A．  B．3 

C．  D．

解析：∵点D是边BC上的动点且＝λ＋μ（λ>0，μ>0），

∴λ＋μ＝1，∴λμ≤＝，当且仅当λ＝μ＝时等号成立，λμ取得最大值，此时点D是边BC的中点，∴||＝||，∵||＝3，||＝4，∠BAC＝90°，∴||＝||＝．

答案：C

5．（2021·上海普陀区月考）设正数a，b满足2a＋3b＝ab，则a＋b的最小值是________．

解析：∵2a＋3b＝ab，a>0，b>0，∴＋＝1，∴a＋b＝（a＋b）＝＋＋5≥2＋5，当且仅当2a2＝3b2时等号成立，∴a＋b的最小值为2＋5．

答案：2＋5

6．（2021·鹤岗一中月考）已知x<0，且x－y＝1，则x＋的最大值是________．

解析：∵x<0，且x－y＝1，∴x＝y＋1，y<－1，∴x＋＝y＋1＋＝y＋＋＋，∵y＋<0，∴y＋＋＝

－≤－，当且仅当y＝－时等号成立，∴x＋≤－，∴x＋的最大值为－．

答案：－

7．（2021·唐山模拟）已知a>0，b>0，c>0，d>0，a2＋b2＝ab＋1，cd>1．

（1）求证：a＋b≤2；

（2）判断等式＋＝c＋d能否成立，并说明理由．

解析：（1）证明：由题意得（a＋b）2＝3ab＋1≤3＋1，当且仅当a＝b时取等号．

解得（a＋b）2≤4，又a，b>0，

所以a＋b≤2．

（2）不能成立．

理由：由均值不等式得＋≤＋，当且仅当a＝c且b＝d时等号成立．

因为a＋b≤2，

所以＋≤1＋．

因为c>0，d>0，cd>1，

所以c＋d＝＋≥＋>＋1≥＋，

故＋＝c＋d不能成立．

[C组　创新应用练]

1．已知f（x）＝x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0）在x＝1处取得极值，则＋的最小值为（　　）

A．  B．3＋2

C．3  D．2

解析：由f（x）＝x3＋ax2＋（b－4）x（a>0，b>0），得f′（x）＝x2＋2ax＋b－4．由题意得f′（1）＝12＋2a＋b－4＝0，则2a＋b＝3，所以＋＝×＝（2a＋b）＝≥＝3，当且仅当＝，即a＝b＝1时，等号成立．故＋的最小值为3．

答案：C

2．若直线l：ax－by＋2＝0（a>0，b>0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为（　　）

A．2  B．

C．2＋1  D．＋

解析：直线ax－by＋2＝0（a>0，b>0）经过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，即圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心（－1，2）在直线ax－by＋2＝0上，可得－a－2b＋2＝0，即a＋2b＝2，所以＋＝（a＋2b）＝＋≥＋ ＝＋，当且仅当＝时等号成立，所以＋的最小值为＋．

答案：D

3．已知棱长为的正四面体ABCD，在侧棱AB上任取一点E（与A，B不重合），若点E到平面ACD与平面BCD的距离分别为a，b，则＋的最小值为（　　）

A．  B．

C．  D．

解析：如图，连接CE，DE，设O为底面三角形BCD的中心，连接OA，则正四面体的高OA＝2．因为VA­BCD＝VE­BCD＋VE­ACD，所以a＋b＝2，所以＋＝（a＋b）＝≥＝，当且仅当＝，即b＝a时取等号．

答案：C