高考数学一轮复习第七章第一节空间几何体的结构特征及三视图与直观图课时作业理含解析北师大版

第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图

授课提示：对应学生用书第339页

[A组　基础保分练]

1．下列说法中，正确的是（　　）

A．棱柱的侧面可以是三角形

B．若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形

C．正方体的所有棱长都相等

D．棱柱的所有棱长都相等

解析：棱柱的侧面都是平行四边形，选项A错误；其他侧面可能是平行四边形，选项B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，选项D错误；易知选项C正确．

答案：C

2．某空间几何体的主视图是三角形，则该几何体不可能是（　　）

A．圆柱　　　　　　　　 B．圆锥

C．四面体  D．三棱柱

解析：因为圆锥、四面体、三棱柱的主视图均可以是三角形，而圆柱无论从哪个方向看均不可能是三角形．

答案：A

3．如图所示，知形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形OABC是（　　）

A．正方形  B．矩形

C．菱形  D．一般的平行四边形

解析：在直观图中，O′C′＝C′D′＝2，所以O′D′＝2．如图所示，在原图形中，有OD⊥CD，OD＝4，CD＝2，所以OC＝＝6，从而得原图形四边相等，但CO与OA不垂直，所以原图形为菱形．

答案：C

4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（　　）

A．2  B．3

C．  D．

解析：根据三视图，利用棱长为2的正方体分析知，该多面体是一个三棱锥，即三棱锥A1－MNP，如图所示，其中M，N，P是棱长为2的正方体相应棱的中点，可得棱A1M最长，A1M＝＝3，故最长的棱的长度为3．

答案：B

5．如图，在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1，O2，这两个球外切，且球O1与正方体共顶点A的三个面相切，球O2与正方体共顶点B1的三个面相切，则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是（　　）

解析：由题意可以判断出两球在正方体的面上的正投影与正方形相切．由于两球球心连线AB1与面ACC1A1不平行，故两球球心射影所连线段的长度小于两球半径的和，即两个投影圆相交，即为选项B．

答案：B

6．（2021·彬州质检）一个几何体的三视图如图所示，其中主视图中△ABC是边长为1的等边三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的左视图的面积为（　　）

A．  B．

C．1  D．

解析：由三视图可知该几何体为正六棱锥，其直观图如图所示．正六棱锥的底面正六边形的边长为，侧棱长为1，高为．左视图的底面边长为正六边形的高，为，则该几何体的左视图的面积为××＝．

答案：A

7．（2021·昆明模拟）已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，左视图是一个面积为的矩形，则该正方体的主视图的面积等于_________．

解析：由题知此正方体的主视图与左视图是一样的，主视图的面积与左视图的面积相等为．

答案：

8．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的主视图和左视图，它们是腰长为6 cm的全等的等腰直角三角形．

（1）根据下图所给的主视图、左视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；

（2）求PA．

解析：（1）该四棱锥的俯视图为（内含对角线）边长为6 cm的正方形，如图，其面积为36 cm2．

（2）由左视图可求得PD＝＝＝6．

由主视图可知AD＝6，且AD⊥PD，

所以在Rt△APD中，

PA＝＝＝6 cm．

[B组　能力提升练]

1．已知某空间几何体的俯视图如图所示，则此几何体的主视图不可能为（　　）

解析：选项A，可想象为三个圆柱叠放在一起；选项B，可想象为三个球粘合在一起；选项C，可想象为一个圆台和一个圆柱叠放在一起；选项D，可想象为上面是一个小圆柱，下面是一个空心球，但其俯视图中的中间圆应为虚线，与题不符．

答案：D

2．（2021·孝感模拟）如图，网格纸上的小方格都是正方形，粗实线画出的是一个锥体的左视图和俯视图，则该锥体的主视图可能是（　　）

解析：由俯视图和左视图可知原几何体是四棱锥，底面是长方形，且与长方形的长相交的某一侧面垂直于底面，所以主视图为A．

答案：A

3．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在主视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2  B．2

C．3  D．2

解析：由三视图可知，该几何体为如图①所示的圆柱，该圆柱的高为2，底面周长为16，画出该圆柱的侧面展开图，如图②所示，连接MN，则MS＝2，SN＝4，则从M到N的路径中，最短路径的长度为＝＝2．

答案：B

4．（2021·济南模拟）一只蚂蚁从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路径的主视图的是_________．

解析：由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1的位置，共有6种路线（对应6种不同的展开方式），若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过BB1的中点，此时对应的主视图为②；若把平面ABCD和平面CDD1C1展开到同一个平面内，连接AC1，则AC1是最短路线，且AC1会经过CD的中点，此时对应的主视图为④．而其他几种展开方式对应的主视图在题中没有出现．

答案：②④

5．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是　　　　（填出所有可能的序号）．

解析：空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③．

答案：①②③

6．如图所示的三个图中，上面是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的主视图和左视图如图所示（单位：cm）．

（1）在主视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；

（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积．

解析：（1）如图．

（2）所求多面体的体积V＝V长方体－V正三棱锥

＝4×4×6－××2＝（cm3）．

[C组　创新应用练]

1．（2021·河北衡水中学联考）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽3丈、长4丈，上棱长2丈，高2丈，问：它的体积是多少？”已知该楔体的主视图和俯视图如图中粗实线所示，则该楔体的左视图的周长为（　　）

A．3丈  B．6丈

C．8丈  D．（5＋）丈

解析：由题意可知该楔体的左视图是等腰三角形，它的底边长为3丈，相应高为2丈，所以腰长为 ＝（丈），所以该楔体左视图的周长为3＋2×＝8（丈）．

答案：C

2．（2021·郑州质量预测）刍甍，中国古代算数中的一种几何形体，《九章算术》中记载；“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，草也．甍，屋盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍字面意思为茅草屋顶．”如图为一个刍甍的三视图，其中主视图为等腰梯形，左视图为等腰三角形，则该茅草屋顶的面积为_________．

解析：由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中S四边形ABED＝S四边形ACFD，S△ABC＝S△DEF．过点A向平面BCFE作垂线，垂足为A′，作AM⊥CF于点M，作AN⊥BC于点N，连接A′N，易知AA′＝4，A′N＝CM＝＝2，CN＝BC＝2．在Rt△AA′N中，AN＝＝＝2，在Rt△ANC中，AC＝＝＝2，在Rt△AMC中，AM＝＝＝2．所以S四边形ACFD＝×（4＋8）×2＝12，S△ABC＝×BC×AN＝×4×2＝4．所以该茅草屋顶的面积为2×12＋2×4＝32．

答案：32