高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第九节函数模型及其应用课时规范练理含解析新人教版

第九节 函数模型及其应用

[A组　基础对点练]

1．2018年6月，上海合作组织青岛峰会后，青岛成为国内外旅游的好去处，随着游客的增加，菜价上涨，某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是(　　)

解析：由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大．

答案：B

2．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是(　　)

A．甲比乙先出发

B．乙比甲跑的路程多

C．甲、乙两人的速度相同

D．甲比乙先到达终点

解析：由题图知，甲和乙所走的路程相同且同时出发，但甲用时间少，即甲的速度比乙快．

答案：D

3．20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地地震的最大振幅为(　　)

A．6     B．8

C．10     D．12

解析：由题意知，lg A－lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.

答案：C

4．李华经营了甲、乙两家电动轿车销售连锁店，其月利润(单位：元)分别为L甲＝－5x2＋900x－16 000，L乙＝300x－2 000(其中x为销售辆数).若某月两连锁店共销售了110辆，则能获得的最大利润为(　　)

A．11 000元     B．22 000元

C．33 000元     D．40 000元

解析：设甲连锁店销售x辆，则乙连锁店销售(110－x)辆，故利润L＝－5x2＋900x－16 000＋300(110－x)－2 000＝－5x2＋600x＋15 000＝－5(x－60)2＋33 000，

∴当x＝60时，有最大利润33 000元．

答案：C

5．今有一组数据如下：

在以下四个模拟函数中，最适合这组数据的函数是(　　)

A．v＝log2t     B．v＝logt

C．v＝     D．v＝2t－2

解析：把t看作自变量，v看作其函数值，从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，

对照四个选项，选项A是对数型函数，其递增速度不断变慢，

选项B随着t的增大v变小，故排除．

选项D以一个恒定的幅度变化，其图象是直线型的，不符合本题的变化规律，选项C是二次型函数，对比数据知，其最接近实验数据的变化趋势．

答案：C

6．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是(　　)

A．7     B．8

C．9     D．10

解析：由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获利润为y＝[8＋2(k－1)][60－3(k－1)]＝－6k2＋108k＋378(1≤k≤10，k∈N)，配方可得y＝－6(k－9)2＋864，所以当k＝9时，获得利润最大．

答案：C

7．(2020·河南开封质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)

A．3米     B．4米

C．6米     D．12米

解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x·＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．

答案：A

8.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图所示，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)

A．x＝15，y＝12     B．x＝12，y＝15

C．x＝14，y＝10     D．x＝10，y＝14

解析：由三角形相似得＝，

得x＝(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，

所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，

所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.

答案：A

9．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(　　)

A．略有盈利     B．略有亏损

C．没有盈利也没有亏损     D．无法判断盈亏情况

解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a·1.1n元，经历n次跌停后的价格为a·1.1n·(1－10%)n＝a·1.1n·0.9n＝a·(1.1·0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．

答案：B

10．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则他经过的“半衰期”个数至少是(　　)

A．8     B．9

C．10     D．11

解析：设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过n个“半衰期”后的含量为，由＜，得n≥10，所以若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则他至少需要经过10个“半衰期”．

答案：C

11．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费s(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差(　　)

A．10元     B．20元

C．30元     D．元

解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，

当t＝100时，100k1＋20＝100k2，

化简得k2－k1＝.

当t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10(元).

答案：A

12．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y(万件)与广告费x(万元)之间的函数关系为y＝1＋(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为(　　)

A．30.5万元     B．31.5万元

C．32.5万元     D．33.5万元

解析：由题意，产品的生产成本为(30y＋4)万元，销售单价为·150%＋·50%，故年销售收入为z＝·y＝45y＋6＋x，∴年利润W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－＝17＋－(万元)，∴当广告费为1万元时，即x＝1，该企业甲产品的年利润为17＋－＝31.5(万元).

答案：B

13．拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m＞0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．

解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.

答案：4.24

14．某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y(千克)随时间x(天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．

解析：前10天满足一次函数关系，设为y＝kx＋b，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得解得k＝，b＝，所以y＝x＋，则当x＝6时，y＝.

答案：

15．某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试求，大约使用多少年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？

解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元．

依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.

化简得x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.

因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，

所以函数f(x)在(3，4)上应有一个零点．

故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．

[B组　素养提升练]

1．(2021·辽宁沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－b t(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．

解析：依题意有a·e－b×8＝a，所以b＝，

所以y＝a·e－t.

若容器中的沙子只有开始时的八分之一，

则有a·e－t＝a，解得t＝24，

所以再经过的时间为24－8＝16(min).

答案：16

2．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．

(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？

(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的解析式；

(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)

解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．

(2)当0≤x≤100时，p＝60；当100＜x＜550时，

p＝60－0.02(x－100)＝62－；当x≥550时，p＝51.

所以p＝

(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，

则L＝(p－40)x＝

当0≤x≤100时，L≤2 000；当x≥550时，L≥6 050；

当100＜x＜550时，L＝22x－.

由

解得x＝500.

3．某种特色水果每年的上市时间从4月1号开始仅能持续5个月的时间．上市初期价格呈现上涨态势，中期价格开始下降，后期价格在原有价格基础之上继续下跌．现有三种价格变化的模拟函数可供选择：①f(x)＝p·qx；②f(x)＝px2＋qx＋7；③f(x)＝logq(x＋p).其中p，q均为常数且q＞1.(注：x表示上市时间，f(x)表示价格，记x＝0表示4月1号，x＝1表示5月1号，…，以此类推x∈[0，5])

(1)在上述三个价格模拟函数中，哪一个更能体现该种水果的价格变化态势，请你选择，并简要说明理由；

(2)对(1)中所选的函数f(x)，若f(2)＝11，f(3)＝10，记g(x)＝，经过多年的统计发现，当函数g(x)取得最大值时，拓展外销市场的效果最为明显，请预测明年拓展外销市场的时间是几月1号？

解析：(1)根据题意，该种水果价格变化趋势是先单调递增后单调递减，基本符合开口向下的二次函数变化趋势，

故应该选择②f(x)＝px2＋qx＋7.

(2)由f(2)＝11，f(3)＝10解得f(x)＝－x2＋4x＋7.

g(x)＝

＝－

＝－.

因为－≤－2，

当且仅当x＋1＝3即x＝2时等号成立．

所以明年拓展外销市场的时间应为6月1号．