高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用第十节变化率与导数定积分与微积分基本定理课时规范练理含解析新人教版

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第十节 变化率与导数、定积分与微积分基本定理

[A组　基础对点练]
1．已知曲线y＝f(x)在点(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋5，则f(5)与f′(5)的值分别为(　　)
A．5，－1 B．－1，5
C．－1，0 D．0，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋5＝0，f′(5)＝－1.
答案：D
2．(2021·广东珠海摸底)若函数f(x)＝x4＋(2a－3)x2，则其图象在点(1，－2)处的切线的斜率为(　　)
A．1 B．－1
C．2 D．－2
解析：将点(1，－2)代入函数的解析式得－2＝1＋2a－3，解得a＝0，所以f(x)＝x4－3x2，所以f′(x)＝4x3－6x，所以所求切线的斜率k＝f′(1)＝4－6＝－2.
答案：D
3．(2021·四川内江模拟)若函数f(x)＝x3＋ln x－x，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的倾斜角是(　　)
A． B．
C． D．
解析：设切线的斜率为k，其倾斜角为θ.由题可得f′(x)＝x2＋－1，因此k＝f′(1)＝，则tan θ＝.又0≤θ＜π，则θ＝.
答案：B
4．(2020·广西桂林质检)定积分(3x＋ex)dx的值为(　　)
A．e＋1 B．e
C．e－ D．e＋
解析：(3x＋ex)dx＝＝＋e－1＝e＋.
答案：D
5．(2021·湖北十堰模拟)已知t是常数．若(2x－2)dx＝8，则t＝(　　)
A．1 B．－2
C．－2或4 D．4
解析：由(2x－2)dx＝8得，(x2－2x)＝t2－2t＝8，解得t＝4或t＝－2(舍去).
答案：D
6．(2020·吉林模拟)已知函数f(x)＝(x2＋x－1)ex，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为(　　)
A．y＝3ex－2e B．y＝3ex－4e
C．y＝4ex－5e D．y＝4ex－3e
解析：f′(x)＝(2x＋1)ex＋(x2＋x－1)ex＝(x2＋3x)ex，因此f(1)＝e，f′(1)＝4e，
所以所求切线方程为y－e＝4e(x－1)，即y＝4ex－3e.
答案：D
7．若函数y＝f(x)上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，称y＝f(x)具有T性质．下列函数中具有T性质的是(　　)
A．y＝ln x B．y＝sin x
C．y＝ex D．y＝x3
解析：由题意知，选项ACD中，函数均为定义域上的增函数，在任意点处切线斜率总为正数，不存在切线互相垂直，选项B中，y′＝cos x，x＝0与x＝π时，切线斜率分别为1，－1，切线垂直，具有T性质．
答案：B
8．已知曲线f(x)＝ln x的切线经过原点，则此切线的斜率为(　　)
A．e B．－e
C． D．－
解析：法一：∵f(x)＝ln x，∴x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.设切点P(x0，ln x0)，则切线的斜率k＝f′(x0)＝＝，∴ln x0＝1，x0＝e，∴k＝＝.

法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)＝ln x及曲线f(x)＝ln x经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1.
答案：C
9．若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：依题意得f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－a sin 0＝2×0＋b，b＝0，m＝f(0)＝g(0)，即m＝a＝1，因此a＋b＝1.
答案：C
10．(2021·山东潍坊期中)若曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴，则实数m＝(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
解析：由已知得y′＝m＋.由曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线垂直于y轴可知曲线y＝mx＋ln x在点(1，m)处的切线斜率k＝m＋1＝0，可得m＝－1.
答案：A
11．(2021·四川绵阳诊断)若函数f(x)＝ln x＋2x2－bx－1的图象上任意一点的切线斜率均大于0，则实数b的取值范围为(　　)
A．(－∞，4) B．(－∞，4]
C．(4，＋∞) D．(0，4)
解析：由f(x)＝ln x＋2x2－bx－1及题意可知f′(x)＝＋4x－b＞0对x＞0恒成立，所以b＜.又＋4x≥4，当且仅当x＝时，＋4x取得最小值4，所以b＜4.
答案：A
12．(2021·四川成都联考)已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　)
A．0＜f′(2)＜f′(3)＜f(3)－f(2)
B．0＜f′(3)＜f′(2)＜f(3)－f(2)
C．0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2)
D．0＜f(3)－f(2)＜f′(2)＜f′(3)
解析：由函数f(x)的图象可得函数f(x)的导函数f′(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，f(x)在[2，3]上的平均变化率小于函数f(x)在点(2，f(2))处的瞬时变化率，大于f(x)在点(3，f(3))处的瞬时变化率，所以0＜f′(3)＜＜f′(2)，即0＜f′(3)＜f(3)－f(2)＜f′(2).
答案：C
13．(2021·哈尔滨师大附中模拟)已知函数f(x)为偶函数，当x＞0时，f(x)＝x ln x－x，则曲线y＝f(x)在点(－e，f(－e))处的切线方程为________．
解析：由题设可得，当x＞0时，f′(x)＝1＋ln x－1＝ln x，所以由偶函数的对称性可知曲线在点(－e，f(－e))处的切线的斜率k＝－ln e＝－1，切线方程为y－0＝－(x＋e)，即y＝－x－e.
答案：y＝－x－e
14．(2020·广东佛山模拟)如图，由曲线y＝x2和直线y＝t2(0＜t＜1)，x＝1，x＝0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是________．

解析：设图中阴影部分的面积为S(t)，则S(t)＝(t2－x2)dx＋(x2－t2)dx＝＋＝t3－t2＋.由S′(t)＝2t(2t－1)＝0，得t＝为S(t)在区间(0，1)上的最小值点，此时S(t)min＝S＝×－＋＝.
答案：
15．(2020·山东潍坊模拟)若函数f(x)＝x2－ax＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f(x)＝x2－ax＋ln x的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝x－a＋.
∵f(x)存在垂直于y轴的切线，∴f′(x)存在零点，
即x＋－a＝0有解，∴a＝x＋≥2(当且仅当x＝1时取等号).
答案：[2，＋∞)
16．已知函数f(x)＝x－(a≠0)的图象在点(1，f(1))处的切线l1与在点(e，f(e))处的切线l2互相垂直，则这两条切线与坐标轴围成的四边形的面积为________．

解析：由题知f′(x)＝1－，则切线l1的斜率为f′(1)＝1－，f(1)＝1，切线l2的斜率为f′(e)＝1－＝1，f(e)＝e－.因为切线l1与切线l2互相垂直，所以1－＝－1，解得a＝，所以f(e)＝e－，则切线l1的方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋2，切线l2的方程为y－e＋＝x－e，即y＝x－.由得两条切线的交点为B.可求得切线l1与y轴交于点C(0，2)，切线l2与x轴交于点A，如图，过点B作y轴的垂线，垂足为D，则两条切线与坐标轴围成的四边形OABC的面积为S△BCD＋S梯形OABD＝××＋＝1＋－.
答案：1＋－
[B组　素养提升练]
1．(2021·江西新余质检)已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为(　　)
A．－1 B．－3
C．－4 D．－2
解析：∵f′(x)＝，∴直线l的斜率k＝f′(1)＝1.
又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)图象的切点为(x0，y0)，则

∴－m＝(1－m)2＋m(1－m)＋，得m＝－2.
答案：D
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是(　　)
A． B．
C． D．
解析：∵y＝，
∴y′＝＝＝.
∵ex＞0，∴ex＋≥2，
∴y′∈[－1，0)，∴tan α∈[－1，0).
又α∈[0，π)，∴α∈.
答案：A
3．(2020·湖南衡阳联考)已知a－ln b＝0，c－d＝1，则(a－c)2＋(b－d)2的最小值是________．
解析：设(b，a)是曲线C：y＝ln x上的点，(d，c)是直线l：y＝x＋1上的点，则(a－c)2＋(b－d)2可看成曲线C上的点到直线l上的点的距离的平方．对函数y＝ln x求导得y′＝，令y′＝1，得x＝1，则y＝0，所以曲线C上到直线y＝x＋1的距离最小的点为(1，0)，该点到直线y＝x＋1的距离为＝，因此(a－c)2＋(b－d)2的最小值为()2＝2.
答案：2
4．(2021·广东惠州期末改编)已知函数f(x)＝ln x＋ax.若曲线y＝f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意可得函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋a.∵曲线y＝f(x)存在与直线2x－y＝0平行的切线，∴方程＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即＝2－a在(0，＋∞)上有解，即函数y＝(x＞0)与函数y＝2－a的图象有公共点．又∵y＝＞0，∴2－a＞0，解得a＜2.当直线2x－y＝0与曲线y＝f(x)相切时，设切点为(x0，2x0)，则有解得x0＝e，此时a＝2－，不符合题意，故a＜2且a≠2－，∴实数a的取值范围是∪.
答案：∪
5．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数).
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求直线l的方程．
解析：(1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
∵f(x0)＝x0－1＋＝kx0－1，①
f′(x0)＝1－＝k，②
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴直线l的方程为y＝(1－e)x－1.
6．已知函数f(x)＝ex(x2－2x＋a)(其中a∈R，a为常数，e为自然对数的底数).
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)设曲线y＝f(x)在(a，f(a))处的切线为l，当a∈[1，3]时，求直线l在y轴上截距的取值范围．
解析：(1)f′(x)＝ex(x2－2x＋a)＋ex(2x－2)＝ex(x2＋a－2)，
当a≥2时，f′(x)≥0恒成立，函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上单调递增；
当a＜2时，f′(x)≥0⇔x2≥2－a⇔x≤－或x≥，
函数f(x)在区间(－∞，－]，[，＋∞)上单调递增，
在区间(－，)上单调递减．
(2)f(a)＝ea(a2－a)，f′(a)＝ea(a2＋a－2)，
所以直线l的方程为y－ea(a2－a)＝ea(a2＋a－2)(x－a).
令x＝0，得直线l在y轴上的截距为ea(－a3＋a)，记g(a)＝ea(－a3＋a)(1≤a≤3)，
则g′(a)＝ea(－a3－3a2＋a＋1)，记h(a)＝－a3－3a2＋a＋1(1≤a≤3)，
则h′(a)＝－3a2－6a＋1＜0(1≤a≤3)，所以h(a)在[1，3]上单调递减，
所以h(a)≤h(1)＝－2＜0，所以g′(a)＜0，即g(a)在区间[1，3]上单调递减，
所以g(3)≤g(a)≤g(1)，即直线l在y轴上截距的取值范围是[－24e3，0].