高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形第四节三角函数的图象与性质课时规范练理含解析新人教版

第四节 三角函数的图象与性质

[A组　基础对点练]

1．(2021·北京海淀区模拟)已知函数f(x)＝sin 的最小正周期为π，则ω＝(　　)

A．1     B．±1

C．2     D．±2

解析：因为T＝，所以|ω|＝＝2，故ω＝±2.

答案：D

2．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是(　　)

A．y＝tan (2x＋π)

B．y＝cos

C．y＝2sin2x－1

D．y＝sin

解析：y＝tan (2x＋π)＝tan 2x是奇函数，T＝，不符合题意．y＝cos ＝－sin 2x是T＝π的奇函数，符合题意，同理选项CD均不符合题意．

答案：B

3．设函数f(x)＝cos ，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)的一个周期为－2π

B．y＝f(x)的图象关于直线x＝对称

C．f(x＋π)的一个零点为x＝

D．f(x)在内单调递减

解析：当x∈时，x＋∈，函数在该区间内不单调．

答案：D

4．已知函数ƒ(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)

A．ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为3

B．ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为4

C．ƒ(x)的最小正周期为2π，最大值为3

D．ƒ(x)的最小正周期为2π，最大值为4

解析：∵ƒ(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－＋2＝cos 2x＋，∴ƒ(x)的最小正周期为π，最大值为4.

答案：B

5．函数y＝－2cos2＋1是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的非奇非偶函数

解析：y＝－2cos2＋1

＝－＋1＝sin 2x.结合各选项知选项A正确．

答案：A

6．(2020·福建泉州模拟)已知f(x)＝cos (x＋φ)－sin (x＋φ)为偶函数，则φ可以取的一个值为(　　)

A.     B．

C．－     D．－

解析：由已知得f(x)＝2cos 为偶函数，由诱导公式可知φ＋＝kπ(k∈Z).

当k＝0时，φ＝－.

答案：D

7．已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：由题意知即其中k∈Z，则ω＝，ω＝或ω＝1，即ω的取值集合为.

答案：A

8．函数y＝ 的定义域为________．

解析：由题意得cos x≥，故2kπ－≤x≤＋2kπ(k∈Z).

答案：(k∈Z)

9．设函数f(x)＝3sin ，若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则|x1－x2|的最小值为________．

解析：f(x)＝3sin 的周期T＝2π×＝4，

f(x1)，f(x2)应分别为函数f(x)的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2.

答案：2

10．若函数f(x)＝cos (0<φ<π)是奇函数，则φ＝________．

解析：因为f(x)为奇函数，

所以对x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立，

因此cos ＝－cos ，

即cos 2x cos ＋sin 2x sin

＝－cos 2x cos ＋sin 2x sin ，

整理得cos 2x cos ＝0.

因为x∈R，所以cos ＝0.

又因为0<φ<π，故φ－＝，所以φ＝.

答案：

11．设函数f(x)＝3sin (ω>0)，且以为最小正周期．

(1)求f(0)；

(2)求f(x)的解析式；

(3)设α∈，则f＝，求α的值．

解析：(1)函数f(x)＝3sin (ω>0)，

所以f(0)＝3sin ＝.

(2)由于f(x)以为最小正周期，

所以＝，所以ω＝4，

所以f(x)＝3sin .

(3)因为α∈，f＝3sin ＝，

所以sin ＝.

再根据2α＋∈，

可得2α＋＝，所以α＝.

12．已知f(x)＝sin .

(1)求函数f(x)图象的对称轴方程；

(2)求f(x)的单调递增区间；

(3)当x∈时，求函数f(x)的最大值和最小值．

解析：(1)f(x)＝sin ，

令2x＋＝kπ＋，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，

所以函数f(x)图象的对称轴方程是x＝＋，k∈Z.

(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，

则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，

故f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

(3)当x∈时，≤2x＋≤，

所以－1≤sin ≤，所以－≤f(x)≤1，所以当x∈时，函数f(x)的最大值为1，最小值为－.

[B组　素养提升练]

1．若ƒ(x)＝cos x－sin x在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是(　　)

A．     B．

C．     D．π

解析：ƒ(x)＝cos x－sin x＝－·(sin x·－cos x·)＝－sin ，当x∈，即x－∈时，y＝sin 单调递增，y＝－sin 单调递减．

∵函数ƒ(x)在[－a，a]上是减函数，

∴[－a，a]⊆，

∴0＜a≤，∴a的最大值为.

答案：A

2．已知函数f(x)＝cos 2x－2sin2(x－α)，其中0＜α＜，且f＝－－1.

(1)求α的值；

(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．

解析：(1)由已知得f＝－－2sin2＝－－2cos2α＝－－1，

整理得cos2α＝.

因为0＜α＜，所以cosα＝，α＝.

(2)由(1)知，f(x)＝cos 2x－2sin2＝cos2x－1＋cos ＝cos 2x＋sin 2x－1＝2sin －1.

易知函数f(x)的最小正周期T＝π.

令t＝2x＋，则函数f(x)可转化为y＝2sin t－1.

显然函数y＝2sin t－1与y＝sin t的单调性相同，

当函数y＝sin t单调递减时，2kπ＋≤t≤2kπ＋(k∈Z)，

即2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z).

所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ＋，kπ＋](k∈Z).

3．已知函数f(x)＝a sin ＋a＋b.

(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5，8]，求a，b的值．

解析：f(x)＝a sin ＋a＋b.

(1)当a＝－1时，f(x)＝－sin ＋b－1，

由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)因为0≤x≤π，

所以≤x＋≤，

所以－≤sin ≤1，依题意知a≠0.

①当a＞0时，

所以a＝3－3，b＝5.

②当a＜0时，

所以a＝3－3，b＝8.

综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.