高考数学一轮复习第四章平面向量数系的扩充与复数的引入第一节平面向量的概念及线性运算课时规范练理含解析新人教版

第一节 平面向量的概念及线性运算

[A组　基础对点练]

1．①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③向量与向量共线，则A，B，C，D四点共线；

④如果a∥b，b∥c，那么a∥c.

以上命题中正确的个数为(　　)

A．1     B．2

C．3     D．0

解析：①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段；②不正确，若a与b中有一个为零向量时也互相平行，但零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反；

③不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；

④不正确，当b＝0时，a与c不一定平行，

故正确命题的个数为0.

答案：D

2．(2020·山东威海模拟)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b.若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)

A．－2     B．－1

C．1     D．2

解析：因为＝a＋b，＝a－2b，所以＝＋＝2a－b.又因为A，B，D三点共线，所以，共线．设＝λ，所以2a＋pb＝λ(2a－b)，所以2＝2λ，p＝－λ，即λ＝1，p＝－1.

答案：B

3．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)

A．a＋b＝0     B．a＝b

C．a与b共线反向     D．存在正实数λ，使a＝λb

解析：由已知得，向量a与b为同向向量，即存在正实数λ，使a＝λb.

答案：D

4．已知a＝(3，－2)，b＝(－2，1)，c＝(7，－4)，则(　　)

A．c＝a＋2b     B．c＝a－2b

C．c＝2b－a     D．c＝2a－b

解析：设c＝xa＋yb，

所以(7，－4)＝(3x－2y，－2x＋y)，

所以得所以c＝a－2b.

答案：B

5．在△ABC中，点D在AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则＝(　　)

A．a＋b     B．a＋b

C．a＋b     D．a＋b

解析：因为CD平分∠ACB，由角平分线定理得＝＝，所以D为AB的三等分点，且＝＝(－)，所以＝＋＝＋＝a＋b.

答案：B

6．在下列选项中，“a∥b”的充分不必要条件是(　　)

A．a，b都是单位向量

B．|a|＝|b|

C．|a＋b|＝|a|－|b|

D．存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0

解析：a，b都是单位向量，但方向可能既不相同，又不相反，故选项A错误；|a|＝|b|，但方向不定，故选项B错误；|a＋b|＝|a|－|b|，若a，b都是非零向量，则a，b反向共线，且|a|＞|b|；若a，b中恰有一个零向量，则a≠0，b＝0；若a＝b＝0，则a，b也符合|a＋b|＝|a|－|b|，所以“|a＋b|＝|a|－|b|”⇒“a∥b”，而“a∥b”⇒/　“|a＋b|＝|a|－|b|”，故选项C正确；选项D中“存在不全为零的实数λ，μ，使λa＋μb＝0”⇔“a∥b”．

答案：C

7．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2).若ma＋nb与a－2b共线，则等于(　　)

A．－     B．

C．－2     D．2

解析：因为向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，

所以a－2b＝(4，－1)，ma＋nb＝(2m－n，3m＋2n).

因为ma＋nb与a－2b共线，

所以4(3m＋2n)－(－1)(2m－n)＝0，所以＝－.

答案：A

8.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)

A．a－b     B．a－b

C．a＋b     D．a＋b

解析：连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，有∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且OA＝OC＝OD，则△OAC与△OCD均为边长等于圆O的半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形，所以＝＋＝＋＝a＋b.

答案：D

9．若a与b不共线，已知下列各向量：

①a与－2b；②a＋b与a－b；③a＋b与a＋2b；④a－b与a－b.

其中可以作为基底的是________(填序号).

解析：对于①，因为a与b不共线，所以a与－2b不共线；对于②，假设a＋b与a－b共线，则有a＋b＝λ(a－b)，所以λ＝1且λ＝－1，矛盾，所以a＋b与a－b不共线；对于③，同理a＋b与a＋2b不共线；对于④，因为a－b＝2，所以a－b与a－b共线．由基底的定义知，①②③都可以作为基底，④不可以．

答案：①②③

10．(2021·海南海口模拟)在△ABC中，A＝60°，角A的平分线交BC于点D.若AB＝4，且＝＋λ(λ∈R)，则AD的长为________．

解析：因为B，D，C三点共线，所以＋λ＝1，解得λ＝，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点M，N(图略)，则＝，＝，经计算得AN＝AM＝3，AD＝3.

答案：3

11．设向量a，b不平行，向量λa＋b与3a－2b平行，则实数λ＝________．

解析：因为向量a，b不平行，所以3a－2b≠0.又向量λa＋b与3a－2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(3a－2b)成立，即λa＋b＝3μa－2μb，则解得λ＝－，μ＝－.

答案：－

12．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．

解析：＋－2＝(－)＋(－)＝＋，－＝＝－，

所以|＋|＝|－|.故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．

答案：直角三角形

[B组　素养提升练]

1．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足5＝＋3，则△ABM与△ABC的面积比为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：如图所示，设AB的中点为D，由5＝＋3，得3－3＝2－2，所以＝，所以C，M，D三点共线，且＝，所以△ABM与△ABC公共边AB上的两高之比为3∶5，则△ABM与△ABC的面积比为.

答案：C

2．(2020·湖南省八校联考)如图所示，在△ABC中，点D在线段BC上，且满足BD＝DC，过点D的直线分别交直线AB，AC于不同的两点M，N.若＝m，＝n，则(　　)

A．m＋n是定值，定值为2

B．2m＋n是定值，定值为3

C．＋是定值，定值为2

D．＋是定值，定值为3

解析：法一：如图所示，过点C作CE平行于MN交AB于点E.由＝n可得＝，所以＝＝.由BD＝DC可得＝，所以＝＝＝＝＝.因为＝m，所以m＝，整理可得＋＝3.

法二：连接AD(图略).因为M，D，N三点共线，所以＝λ＋(1－λ).又＝m，＝n，所以＝λm＋(1－λ)n　①.又＝，所以－＝－，所以＝＋　②.由①②知λm＝，(1－λ)n＝，所以＋＝3.

答案：D

3．如图所示，四边形ABCD是正方形，延长CD至点E，使得DE＝CD.若动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点A，其中＝λ＋μ(λ，μ∈R)，下列判断正确的是(　　)

A．满足λ＋μ＝2的点P必为BC的中点

B．满足λ＋μ＝1的点P有且只有一个

C．满足λ＋μ＝a(a＞0)的点P最多有3个

D．λ＋μ的最大值为3

解析：以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，P(x，y)(0≤x≤1，0≤y≤1)，则A(0，0)，B(1，0)，E(－1，1)，所以＝(x，y)，＝(1，0)，＝(－1，1)，所以由＝λ＋μ得，(x，y)＝(λ－μ，μ)，所以x＝λ－μ，y＝μ，所以λ＋μ＝x＋2y＝当P或P(0，1)时，λ＋μ＝2，所以满足λ＋μ＝2的点P有线段BC的中点和D点；当P(1，0)或P时，λ＋μ＝1，所以满足λ＋μ＝1的点P有B点和线段AD的中点；由λ＋μ关于x，y的表达式知，满足λ＋μ＝a(a＞0)的点P最多有2个；x＝1，y＝1，即点P与点C重合时，λ＋μ取得最大值3.

答案：D

4．在平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，BE与AC相交于点F，若＝m＋n(m，n∈R)，则的值为(　　)

A．－2     B．－

C．2     D．

解析：设＝a，＝b，则＝ma＋nb，＝－＝b－a，由向量与共线可知存在实数λ，使得＝λ，即ma＋nb＝λb－λa，又a与b不共线，则所以＝－2.故选A.

答案：A

5．(2020·湖北咸宁联考)如图，在△ABC中，点M为AC的中点，点N在AB上，＝3，点P在MN上，＝2，那么等于(　　)

A．－     B．－

C．－     D．＋

解析：由题意知＝，＝，＝，∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝＋.故选D.

答案：D

6．在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)

A．－4     B．－1

C．1     D．4

解析：根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋，又＝m＋，

∴解得故选B.

答案：B

7．(2021·湖南长沙模拟)矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，P为矩形内部一点，且AP＝1.若＝x＋y，则3x＋2y的取值范围是________．

解析：以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立平面直角坐标系(图略)，则A(0，0)，B(3，0)，D(0，2)，根据＝x＋y可知，P(3x，2y)，因为AP＝1，所以(3x)2＋(2y)2＝1，x＞0，y＞0，那么(3x＋2y)2＝(3x)2＋(2y)2＋2×3x×2y＝1＋2×(3x)×(2y)，而2×3x×2y≤(3x)2＋(2y)2＝1，所以1＜(3x＋2y)2≤2，即3x＋2y的取值范围是(1，].

答案：(1，]

8．如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，＝，＝a，＝b.

(1)用a，b表示向量，，，，；

(2)求证：B，E，F三点共线．

解析：(1)延长AD到G，使＝，

连接BG，CG，得到▱ABGC，如图，

所以＝＋＝a＋b，

＝＝(a＋b)，＝＝(a＋b)，

＝＝b，

＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)，

＝－＝b－a＝(b－2a).

(2)证明：由(1)可知＝，又因为，有公共点B，所以B，E，F三点共线．