高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和课时规范练理含解析新人教版

第四节 数列求和

[A组　基础对点练]

1．在数列{an}中，an＋1－an＝2，Sn为{an}的前n项和．若S10＝50，则数列{an＋an＋1}的前10项和为(　　)

A．100     B．110

C．120     D．130

解析：{an＋an＋1}的前10项和为a1＋a2＋a2＋a3＋…＋a10＋a10＋a11＝2(a1＋a2＋…＋a10)＋a11－a1＝2S10＋10×2＝120.

答案：C

2．数列{an}的通项公式为an＝.若该数列的前k项之和等于9，则k＝(　　)

A．80     B．81

C．79     D．82

解析：an＝＝－，故Sn＝，令Sk＝＝9，解得k＝81.

答案：B

3．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列的前5项和为(　　)

A．或5     B．或5

C．     D．

解析：设{an}的公比为q，显然q≠1，由题意得＝，所以1＋q3＝9，得q＝2，所以是首项为1，公比为的等比数列，前5项和为＝.

答案：C

4．(2020·湖南长沙模拟)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n·(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)

A．15     B．12

C．－12     D．－15

解析：∵an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.

答案：A

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为(　　)

A．     B．

C．     D．

解析：由S5＝5a3及S5＝15得a3＝3，

∴d＝＝1，a1＝1，∴an＝n，＝＝－，

∴数列的前100项和T100＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.

答案：A

6．已知数列{an}的通项公式是an＝2n－3，则其前20项和为(　　)

A．380－×     B．400－×

C．420－×     D．440－×

解析：令数列{an}的前n项和为Sn，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2×(1＋2＋…＋20)－3×＝2×－3×＝420－×.

答案：C

7．已知Tn为数列的前n项和，若m＞T10＋1 013恒成立，则整数m的最小值为(　　)

A．1 026     B．1 025

C．1 024     D．1 023

解析：∵＝1＋，

∴Tn＝n＋1－，

∴T10＋1 013＝11－＋1 013＝1 024－.

又m＞T10＋1 013，

∴整数m的最小值为1 024.

答案：C

8．已知在正项等比数列{an}中，a1＝1，a2a4＝16，则|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝(　　)

A．224     B．225

C．226     D．256

解析：设正项等比数列{an}的公比为q且q＞0，

因为a1＝1，a2a4＝16，

所以q4＝16，解得q＝2，

所以an＝1·2n－1＝2n－1，

由2n－1≤12，解得n≤4.

所以|a1－12|＋|a2－12|＋…＋|a8－12|＝12－a1＋12－a2＋12－a3＋12－a4＋a5－12＋…＋a8－12

＝－2(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a1＋a2＋…＋a8)

＝－2×＋

＝－2×(24－1)＋28－1＝225.

答案：B

9．等比数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则a＋a＋…＋a＝________．

解析：当n＝1时，a1＝S1＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1－(2n－1－1)＝2n－1.

又因为a1＝1适合上式，所以an＝2n－1，

所以a＝4n－1，

所以数列{a}是以a＝1为首项，以4为公比的等比数列，

所以a＋a＋…＋a＝＝(4n－1).

答案：(4n－1)

10．已知数列：1，2，3，…，，则其前n项和关于n的表达式为________．

解析：设所求的前n项和为Sn，则Sn＝(1＋2＋3＋…＋n)＋＝＋＝－＋1.

答案：－＋1

11．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和．

解析：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝n.

a1也满足an＝n，故数列{an}的通项公式为an＝n.

(2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn.

记数列{bn}的前2n项和为T2n，则T2n＝(21＋22＋…＋22n)＋(－1＋2－3＋4－…＋2n).

记A＝21＋22＋…＋22n，B＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，

则A＝＝22n＋1－2，

B＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n－1)＋2n]＝n，

故数列{bn}的前2n项和T2n＝A＋B＝22n＋1＋n－2.

12．等差数列{an}中，a2＝8，S6＝66.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，求Tn.

解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则有解得a1＝6，d＝2，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n＋4.

(2)因为bn＝＝＝－，

所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝－＋－＋…＋－＝－＝.

[B组　素养提升练]

1．(2021·广东广州天河模拟)数列{an}满足a1＝1，对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则＋＋…＋＝(　　)

A．     B．2

C．     D．

解析：对任意n∈N*，都有an＋1＝1＋an＋n，则an＋1－an＝n＋1，则an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋1＝，则＝＝2，所以＋＋…＋＝2×＝2×＝.

答案：C

2．设函数f(x)＝＋log2，定义Sn＝f＋f＋…＋f，其中n∈N*，且n≥2，则Sn＝________．

解析：因为f(x)＋f(1－x)＝＋log2＋＋log2＝1＋log21＝1，所以2Sn＝＋＋…＋＝n－1.所以Sn＝.

答案：

3．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＋1＝Sn＋an＋2，a1，a2，a5成等比数列．

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足＝()1＋an，求数列{bn}的前n项和Tn.

解析：(1)因为Sn＋1＝Sn＋an＋2，所以an＋1－an＝2，

所以数列{an}是公差为2的等差数列．

因为a1，a2，a5成等比数列，所以a＝a1·a5，

所以(a1＋2)2＝a1(a1＋8)，解得a1＝1，

所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

(2)因为数列{bn}满足＝()1＋an，

所以bn＝(2n－1)()1＋(2n－1)＝(2n－1)·2n，

所以数列{bn}的前n项和

Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，

所以2Tn＝2×2＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·

2n＋1，

所以Tn＝6＋(2n－3)·2n＋1.

4．直线ln：y＝x－与圆Cn：x2＋y2＝2an＋n交于不同的两点An，Bn，n∈N*.数列{an}满足a1＝1，an＋1＝|AnBn|2.

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若bn＝求数列{bn}的前n项和Tn.

解析：(1)由题意知，圆Cn的圆心到直线ln的距离dn＝，圆Cn的半径rn＝，

所以an＋1＝＝r－d＝2an＋n－n＝2an.

又a1＝1，所以an＝2n－1.

(2)当n为偶数时，

Tn＝(b1＋b3＋…＋bn－1)＋(b2＋b4＋…＋bn)

＝[1＋5＋…＋(2n－3)]＋(2＋23＋…＋2n－1)

＝＋

＝＋(2n－1).

当n为奇数时，n＋1为偶数，

Tn＋1＝＋(2n＋1－1)

＝＋(2n＋1－1).

而Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n，

所以Tn＝＋(2n－2).

综上，Tn＝