人教B版 (2019)必修 第一册3.1.3 函数的奇偶性习题

十三　函数的奇偶性

(25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．(2021·厦门高一检测)已知y＝f(x)在[－1，1]上单调递减，且函数y＝f(x＋1)为偶函数，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．b<a<c    B．c<b<a

C．b<c<a    D．a<b<c

【解析】选D.因为函数y＝f(x＋1)为偶函数，所以函数y＝f(x)的图像关于x＝1对称，

所以a＝f＝f，

又y＝f(x)在[－1，1]上单调递减，所以y＝f(x)在[1，3]上单调递增，所以f<f(2)<f(3)，即a<b<c.

2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(－1)＝0，则使得f(x)>0的x的取值范围是(　　)

A．∅

B．(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞)

C．(－1，1)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

【解析】选B.因为函数f是定义在R上的偶函数，在上是减函数，且f＝0，所以f＝0，函数f在上单调递增；

①当x≤0时，若x2－4<0，可得－2<x≤0，

则由f(x)>0得f<0＝f，可得－1<x≤0；若x2－4>0，可得x<－2，

则由f(x)>0得f>0＝f，可得x<－1，所以x<－2；

②当x>0时，若x2－4<0，可得0<x<2，

则由f(x)>0得f<0＝f，

可得0<x<1；

若x2－4>0，可得x>2，

则由f(x)>0得f>0＝f，可得x>1，所以x>2.

综上所述，x的取值范围为(－∞，－2)∪(－1，1)∪(2，＋∞).

3．(2021·台州高一检测)已知函数f(x)，g(x)是定义在R上的函数，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，f(x)＋g(x)＝ax2＋x＋2，若对于任意1<x1<x2<2都有>－2，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0，＋∞)

B．

C．

D．∪

【解析】选B.因为对于任意1<x1<x2<2，都有>－2，

即>0，

令h(x)＝g(x)＋2x，

则h(x)＝g(x)＋2x在上单调递增．

又f(x)＋g(x)＝ax2＋x＋2，

则f(－x)＋g(－x)＝ax2－x＋2，两式相加可得f(x)＋f(－x)＋g(x)＋g(－x)＝2ax2＋4，f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，

所以2g(x)＝2ax2＋4，即g(x)＝ax2＋2，

所以h(x)＝g(x)＋2x＝ax2＋2x＋2，

若a＝0，则h(x)＝2x＋2在上单调递增，满足题意；

若a≠0，则h(x)＝ax2＋2x＋2是对称轴为x＝－的二次函数，为使其在上单调递增，只需或

解得a>0或－≤a<0，

综上a≥－.

4．(多选题)(2021·潍坊高一检测)已知f(x)为定义在R上的函数，对任意的x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，并且当x<0时，有f(x)<0，则(　　)

A．f(0)＝0

B．若f(2)＝2，则f(－2)＝2

C．f(x)在上为增函数

D．若f(2)＝2，且f(a2)－f(2a－5)>4，则实数a的取值范围为∪

【解析】选ACD.取x＝y＝0得，

则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)，

即f(0)＝0，故A正确；

取y＝－x代入，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，

又f(0)＝0，于是f(－x)＝－f(x)，

所以f(x)为奇函数．因为f(2)＝2，

所以f＝－f＝－2，故B错误；

设x1，x2∈R且x1<x2，

则f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)＝－f，

由x1－x2<0知，f(x1－x2)<0，

所以f(x2)－f(x1)>0，所以f(x2)>f(x1)，

所以函数f(x)为R上的增函数．故C正确；

因为f(2)＝2，所以f(4)＝f(2)＋f(2)＝4，

所以f(a2)－f(2a－5)>4等价于f(a2)－f(2a－5)>f，即f(a2)>f(2a－5)＋f，

所以f(a2)>f(2a－5＋4)等价于a2>2a－5＋4，即2>0，

解得a>1或a<1，故D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知f(x)是定义域在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝|x＋1|，则f(－2)＝________，f(2)＝________．

【解析】当x<0时，f(x)＝|x＋1|，

所以f(－2)＝|－2＋1|＝1；

由奇函数的性质得f(－2)＝－f(2)，

所以f(2)＝－f(－2)＝－1.

答案：1　－1

6．(2021·北京高一检测)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则当x<0时，f(x)＝________．

【解析】设x<0，则－x>0，由当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，所以f(－x)＝(－x)(1－x)，

又函数f(x)为偶函数，

即f(－x)＝f(x)，

所以f(x)＝(－x)(1－x)＝x(x－1).

答案：x(x－1)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．(2021·南京高一检测)已知函数f(x)＝x2＋|x－a|＋1，a∈R.

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)当f(x)为偶函数时，求使得不等式f(x)≥kx恒成立的k的范围．

【解析】(1)当a＝0时，f(x)＝x2＋|x|＋1，f(－x)＝(－x)2＋|－x|＋1＝x2＋|x|＋1＝f(x)，所以f(x)为偶函数；

当a≠0时，f(－x)＝(－x)2＋|－x－a|＋1＝x2＋|x＋a|＋1，所以f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)，所以f(x)为非奇非偶函数；

(2)由(1)知：f(x)为偶函数，则a＝0，

则f(x)＝x2＋|x|＋1，

所以f(x)≥k|x|等价于x2＋|x|＋1≥k|x|，当x＝0时，不等式化为1≥0，恒成立，满足题意；

当x≠0时，不等式等价于k≤|x|＋＋1，

又|x|＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当|x|＝，即x＝±1时等号成立，所以k≤3.

8．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝.

(1)求f(x)的解析式；

(2)用定义法证明，f(x)在[0，＋∞)上单调递减；

(3)解不等式f(t2＋2t－6)＋>0.

【解析】(1)设x>0，则－x<0，

所以f(－x)＝＝，

又f(x)是奇函数，

则f(x)＝－f(－x)＝－，

而f(0)＝0适合上式，

所以f(x)的解析式为f(x)＝

(2)任取x1，x2∈[0，＋∞)，

且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝，

因为x1，x2∈[0，＋∞)且x1<x2，

所以x2－x1>0，(x1＋1)(x2＋1)>0，

所以>0，

即f(x1)－f(x2)>0，

所以函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减．

(3)由函数的解析式可知f(1)＝－，

而不等式可化为f(t2＋2t－6)>－，

所以f(t2＋2t－6)>f(1)，

又由(2)可得函数f(x)在R上单调递减，

所以t2＋2t－6<1，

解得－1－2<t<－1＋2，

所以不等式的解集为(－1－2，－1＋2).