人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理课时训练

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三　空间向量基本定理　(15分钟　30分)1．已知边长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)A．－1     B．0    C．1     D．2【解析】选C.＝＝＋＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1.2．若{e1，e2，e3}是空间向量的一个基底，又a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝xa＋yb＋zc，则x，y，z的值分别为(　　)A．，－1，－      B．－1，，－C．，1，       D．－，1，【解析】选A.由题意得，d＝xa＋yb＋zc＝x(e1＋e2＋e3)＋y(e1＋e2－e3)＋z(e1－e2＋e3)＝(x＋y＋z)e1＋(x＋y－z)e2＋(x－y＋z)e3＝e1＋2e2＋3e3，由空间向量基本定理，得解得3．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．【解析】＝＋＋，所以·＝·(＋＋)＝||2＝1，所以cos 〈，〉＝＝，所以异面直线a，b所成的角是60°.答案：60°4．{a，b，c}为空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x＝________，y＝________，z＝________．【解析】若x，y，z中存在一个不为0的数，不妨设x≠0，则a＝－b－c，所以a，b，c共面．这与{a，b，c}是基底矛盾，故x＝y＝z＝0.答案：0　0　05．如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，用a，b，c表示，，，.【解析】＝＝－＝－(＋)＝－a－b＋c；＝－＝(＋)－(＋)＝－－＋＝－a－b＋c；＝－＝(＋)－＝－a＋b＋c；＝＝＝a.(30分钟　60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1．O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则(　　)A．，，共线      B．，共线C．，共线       D．O，A，B，C四点共面【解析】选D.由题意知，向量，，共面，从而O，A，B，C四点共面．2．在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BD的交点为M，设＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是 (　　)A．－a＋b＋c       B．a＋b＋cC．a－b＋c       D．－a－b＋c【解析】选A.＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＝c＋(－a＋b)＝－a＋b＋c.3．已知在空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是(　　)A．30°    B．45°    C．60°    D．90°【解析】选C.由题意得·＝·＝0，所以·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，所以cos 〈，〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.4．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，，     B．，－，C．－，，－    D．－，－，【解析】选D.如图所示，取PC的中点E，连接NE，则＝－＝－(－)＝－＝－＝－－(－＋＋)＝－－＋，又＝x＋y＋z，则x＝－，y＝－，z＝.二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5．下列说法正确的是(　　)A．若两个非零向量a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a，b共线B．空间的基底有且仅有一个C．两两垂直的三个非零向量可以构成空间的一个基底D．基底{a，b，c}中基向量与基底{e，f，g}中基向量对应相等【解析】选AC.A项中若a，b不共线，则任意与a，b不共面的向量就可以和a，b构成空间的一个基底，A对；B项中空间基底有无数个，B错；C项显然正确；D项中因为基底不唯一，所以D错．6．已知在空间四面体O­ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，设＝a，＝b，＝c，则(　　)A．＝a＋b－cB．＝－a＋b＋cC．＝a－cD．＝a＋b－c【解析】选BC.＝(＋)＝c＋b－a；＝－＝(＋)－＝b＋c－a；＝＋＝－c＋a；＝＋＝a－b.三、填空题(每小题5分，共10分)7．在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面)，连接对应顶点．设＝a，＝b，＝c，M是BC1的中点，N是B1C1的中点，用基底{a，b，c}表示向量＋的结果为________．【解析】如图，＋＝(＋)＋＝＋＝b＋(a＋b)＋(a＋c)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c8．如图，直三棱柱ABC­A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．则CE与A′D的位置关系是________；异面直线CE与AC′所成角的余弦值是________．【解析】设＝a，＝b，＝c，根据题意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，所以＝b＋c，＝－c＋b－a.所以·＝－c2＋b2＝0.所以⊥，即CE与A′D垂直；因为＝－a＋c，所以||＝|a|.又||＝|a|，·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos 〈，〉＝＝，即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.答案：垂直　四、解答题(每小题10分，共20分)9．如图，三棱锥P­ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，求证：＋＋为定值，并求出该定值．【解析】连接AG并延长交BC于点H(图略)，由题意，可令{，，}为空间的一个基底，＝＝(＋)＝＋×＝＋×＝＋(－)＋(－)＝＋＋.连接DM，因为点D，E，F，M共面， 所以存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，所以＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，所以＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．10．如图，正四面体V­ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；(2)求〈，〉．【解析】设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，(1)因为＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝＝0，所以⊥，即AO⊥BO.同理，AO⊥CO，BO⊥CO.所以AO，BO，CO两两垂直．(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，所以||＝＝.又||＝＝，·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，所以cos 〈，〉＝＝.又〈，〉∈[0，π]，所以〈，〉＝.【创新迁移】1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间任一点，设＝a，＝b，＝c，则向量用a，b，c表示为________．【解析】因为＝－2，所以－＝－2(－)，所以b－a＝－2(－c)，所以＝a－b＋c.答案：a－b＋c2．如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.当的值等于多少时，能使A1C⊥平面C1BD?【解析】不妨设＝x，CC1＝1，由A1C⊥平面C1BD，得A1C⊥C1B，A1C⊥C1D，＝＋，＝＝＋＋，由·＝0，得(＋＋)·(＋)＝·＋·＝0，注意到·＋·＝－，可得方程1－x2＋＝0，解得x＝1或x＝－(舍去)，因此，当＝1时，能使A1C⊥平面C1BD.