人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.3 空间向量及其运算的坐标表示课后作业题

五　空间向量运算的坐标表示

(15分钟　30分)

1．已知a＝，b＝，则a与b(　　)

A．垂直        B．不垂直也不平行

C．平行且同向      D．平行且反向

【解析】选A.因为a＝，b＝，

所以a·b＝－5×6＋6×5＋1×0＝0，所以a⊥b.

2．已知向量a＝，b＝，若·＝2，则k的值等于(　　)

A．1      B．      C．      D．

【解析】选D.由已知得＝，＝2，且a·b＝0，

由·＝2得k|a|2＋k|b|2＋a·b＝2，即2k＋8k＝2，解得k＝.

3．若向量a＝，b＝， 且a，b 夹角的余弦值为，则x等于(　　)

A．2         B．－2

C．－2或       D．2或－

【解析】选C.cos 〈a，b〉＝＝＝，解得x＝－2或x＝.

4．已知a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，若|a|＝6，a⊥b，则x＋y的值是________．

【解析】因为a＝(2，4，x)，b＝(2，y，2)，|a|＝6，a⊥b，

所以

解得或

因此x＋y＝1或－3.

答案：－3或1

5．如图，BC＝2，原点O是BC的中点，点A的坐标为，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°.

(1)求向量的坐标．

(2)求与的夹角的余弦值．

【解析】(1)过D作DE⊥BC于E，

则DE＝CD·sin 30°＝，OE＝OB－BD cos 60°＝1－＝，

所以D点坐标为，

又因为C(0，1，0)，所以＝.

(2)依题设，A点坐标为，

所以＝，＝(0，2，0)，

则与的夹角的余弦值为cos 〈，〉

＝＝－.

(30分钟　60分)

一、单选题(每小题5分，共20分)

1．若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则＝＝是a∥b的(　　)

A．充分不必要条件      B．必要不充分条件

C．充要条件        D．既不充分也不必要条件

【解析】选A.设＝＝＝λ，则有a＝λb(b≠0)，

所以a∥b，即正推成立；若b＝0，恒有a∥b但，，均无意义，逆推不成立．

2．若四棱锥P­ABCD中底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)

A．相交       B．垂直

C．平行       D．成60°角

【解析】选B.·＝－2－2＋4＝0，·＝－4＋4＋0＝0，即AP⊥AB，AP⊥AD，且AB∩AD＝A，则PA⊥平面ABCD.

3．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos 〈a，b〉＝(　　)

A．      B．      C．      D．

【解析】选C.由已知，得a＝(1，，)，b＝(1，0，)，

所以cos 〈a，b〉＝＝＝.

4．已知四棱柱ABCD­A1B1C1D1为正方体．则下列结论不正确的是(　　)

A．＝

B．＝0

C．向量与向量的夹角是120°

D．正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为

【解析】选D.不妨设正方体的棱长为1，以{，， }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则各点坐标为A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B1(1，1，1)，D1(0，0，1).

因为＝(0，0，－1)＋(－1，0，0)＋(0，1，0)＝(－1，1，－1)，

所以()2＝| |2＝3；

3＝3| |2＝3×12＝3.故A正确，不符合题意．

因为＝(－1，1，－1)，＝(0，1，1)，

所以＝0＋1－1＝0.故B正确，不符合题意．

因为＝(－1，0，1)，＝(0，1，－1)，

所以·＝0＋0－1＝－1，||＝，||＝，

所以cos 〈，〉＝＝＝－，

所以向量与向量的夹角是120°，故C正确，不符合题意．

因为AB⊥AA1，所以·＝0，

所以|··|＝|0·|＝0，故D错误，符合题意．

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

5．已知点P是△ABC所在的平面外一点，若＝(－2，1，4)，＝(1，－2，1)，＝(4，2，0)，则(　　)

A．AP⊥AB        B．AP⊥ BP

C．BC＝       D．AP∥ BC

【解析】选AC.因为·＝0，故A正确；＝(3，－3，－3)，·＝3＋6－3＝6≠0，故B不正确；＝(6，1，－4)，＝＝，故C正确；＝(1，－2，1)，＝(6，1，－4)，各个对应分量的比值不同，故D不正确．

6．已知向量a＝(1，2，3)，b＝(3，0，－1)，c＝(－1，5，－3)，下列等式中正确的是(　　)

A．(a·b)c＝b·c

B．(a＋b)·c＝a·(b＋c)

C．(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2

D．|a＋b＋c|＝|a－b－c|

【解析】选BCD.A.左边为向量，右边为实数，显然不相等，不正确；B.左边＝(4，2，2)·(－1，5，－3)＝0，右边＝(1，2，3)·(2，5，－4)＝2＋10－12＝0，所以左边＝右边，因此正确．

C．a＋b＋c＝(3，7，－1)，左边＝32＋72＋(－1)2＝59，右边＝12＋22＋32＋32＋0＋(－1)2＋(－1)2＋52＋(－3)2＝59，所以左边＝右边，因此正确．

D．由C可得：左边＝，因为a－b－c＝(－1，－3，7)，所以|a－b－c|＝，所以左边＝右边，因此正确．综上可得BCD正确．

三、填空题(每小题5分，共10分)

7．已知a＝，b＝，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是________．

【解题指南】利用空间向量的夹角为钝角求参数的取值范围，一般转化为两向量数量积为负，且两向量不共线，结合空间向量的坐标运算得出不等式组求解．

【解析】由题意可知a·b<0且a与b不共线，

则a·b＝3×－2×－3×1＝－2x－4<0，解得x>－2.若a与b共线，则＝，

得x＝，因为a与b不共线，则x≠，

因此实数x的取值范围是∪.

答案：∪

8．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，BB1的中点，则cos ∠EAF＝________，EF＝________．

【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

设正方体棱长为1，则E，F，

所以＝，＝，

＝，

所以cos 〈，〉＝＝＝，

所以cos ∠EAF＝，

EF＝||＝＝.

答案：　

四、解答题(每小题10分，共20分)

9．已知向量a＝，b＝，c＝(3，m，n).

(1)求a－b；

(2)若a∥c，求m，n；

(3)求cos 〈a，b〉．

【解析】(1)因为a＝，b＝，

所以a－b＝－

＝

＝.

(2)因为a＝，c＝，若a∥c，

则＝＝，解得m＝6，n＝－6.

(3)因为a＝，b＝，

所以a·b＝1×4＋2×＋×4＝－8，

＝＝3，

＝＝6，

cos 〈a，b〉＝＝＝－.

10．在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点．

(1)求证：EF⊥CF；

(2)求与所成角的余弦值；

(3)求CE的长．

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.

则D(0，0，0)，E，C(0，1，0)，F，G，所以＝，＝，

＝，＝.

(1)因为·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF.

(2)因为·＝×1＋×0＋×＝，

＝＝，

＝＝，

所以cos 〈，〉＝＝＝.

(3)||＝＝.

【创新迁移】

1．已知＝，＝，＝，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为(O为坐标原点)(　　)

A．       B．

C．       D．

【解析】选B.设Q(x，y，z)，则＝(x，y，z)，

因为点Q在直线OP上运动，所以∥，

所以＝＝，即y＝x，z＝2x，所以＝(x，x，2x)，所以·＝(－)·(－)＝(1－x，2－x，3－2x)·(2－x，1－x，2－2x)

＝(1－x)(2－x)＋(2－x)(1－x)＋(3－2x)(2－2x)

＝6x2－16x＋10，

所以当x＝－＝时，·取得最小值，此时点Q的坐标为.

2．已知空间三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1，－1，5).

(1)若＝，且a分别与，垂直，求向量a的坐标；

(2)若∥，且＝2，求点P的坐标．

【解析】(1)＝(－2，－1，3)，＝(1，－3，2).

设a＝(x，y，z)，因为|a|＝，且a分别与，垂直，

所以解得或

所以a＝(1，1，1)或a＝(－1，－1，－1).

(2)因为∥，所以可设＝λ.

因为＝(3，－2，－1)，所以＝(3λ，－2λ，－λ).

又因为＝2，

所以＝2，解得λ＝±2.

所以＝(6，－4，－2)或＝(－6，4，2).

设点P的坐标为(x，y，z)，则＝(x，y－2，z－3).

所以或

解得或

故所求点P的坐标为(6，－2，1)或(－6，6，5).