高中人教A版 (2019)6.2 平面向量的运算同步测试题

6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

课后·训练提升

基础巩固

1.下列向量组中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是(　　)

A.e1=(0,0),e2=(1,-2) 

B.e1=(-1,2),e2=(5,7)

C.e1=(3,5),e2=(6,10) 

D.e1=(2,-3),e2=

解析选项A中向量e1为零向量,∴e1∥e2;选项C中e1=e2,∴e1∥e2;选项D中e1=4e2,∴e1∥e2;选项B中两向量不共线,故可作为基底,故选B.

答案B

2.已知点A(1,1),B(4,2)和向量a=(2,λ),若a∥,则实数λ的值为(　　)

A.- B. C. D.-

解析根据A,B两点的坐标,可得=(3,1),

∵a∥,∴2×1-3λ=0,解得λ=.故选C.

答案C

3.已知A(2,-1),B(3,1),则与平行且方向相反的向量a可能是(　　)

A.(2,1) B.(-6,-3)

C.(-1,2) D.(-4,-8)

解析=(1,2),向量(2,1),(-6,-3),(-1,2)与(1,2)不平行,(-4,-8)与(1,2)平行且方向相反,故选D.

答案D

4.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为(　　)

A.-3 B.2 C.4 D.-6

解析因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),所以4(x+3)-(x-6)=0,解得x=-6.

答案D

5.已知a=(-2,1-cos θ),b=,且a∥b,则锐角θ等于(　　)

A.45° B.30° C.60° D.15°

解析由a∥b,得-2×-(1-cosθ)(1+cosθ)=0,即=1-cos2θ=sin2θ,得sinθ=±,又θ为锐角,因此sinθ=,θ=45°.故选A.

答案A

6.已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三点不能构成三角形,则实数k应满足的条件是(　　)

A.k=-2 B.k= C.k=1 D.k=-1

解析因为A,B,C三点不能构成三角形,所以A,B,C三点共线,则,又=(1,2),=(k,k+1),所以2k-(k+1)=0,即k=1.

答案C

7.已知向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线,则实数x的值为　　　　　. 

解析∵向量a=(3x-1,4)与b=(1,2)共线,

∴2(3x-1)-4×1=0,解得x=1.

答案1

8.已知点A(-1,4),点B(x,-2),若点C(3,3)在直线AB上,则x=　　　　　. 

解析由已知条件得=(x+1,-6),=(4,-1),

∵,∴-(x+1)+24=0,∴x=23.

答案23

9.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4),若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为　　　　　. 

解析由题意知,a+λb=(1+λ,2),c=(3,4).因为(a+λb)∥c,所以4(1+λ)-2×3=0,解得λ=.

答案

10.如图所示,在平行四边形ABCD中,A(0,0),B(3,1),C(4,3),D(1,2),M,N分别为DC,AB的中点,求的坐标,并判断是否共线.

解由中点坐标公式可得M(2.5,2.5),N(1.5,0.5),

∴=(2.5,2.5),=(-2.5,-2.5),

又2.5×(-2.5)-2.5×(-2.5)=0,

∴共线.

11.已知A,B,C三点的坐标为(-1,0),(3,-1),(1,2),并且,求证:.

证明设E,F的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),依题意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).

∵,∴(x1+1,y1)=(2,2).

∴点E的坐标为.

同理点F的坐标为,∴.

又×(-1)-4×=0,∴∥.

能力提升

1.已知向量a=(-1,1),b=(3,m),若a∥(a+b),则m= (　　)

A.2 B.-2 C.-3 D.3

解析因为a+b=(2,m+1),

所以-(m+1)=2,解得m=-3.

答案C

2.若A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三点共线,则y=(　　)

A.13 B.-13 C.9 D.-9

解析∵A,B,C三点共线,

∴,而=(-8,8),=(3,y+6),

∴-8×(y+6)-8×3=0,解得y=-9.

答案D

3.已知向量a=(1,0),b=(0,1),c=ka+b(k∈R),d=a-b,如果c∥d,那么(　　)

A.k=1且c与d同向 B.k=1且c与d反向

C.k=-1且c与d同向 D.k=-1且c与d反向

解析若c∥d,则c=λd,

∴ka+b=λ(a-b),得

∴k=λ=-1,

∴c=-a+b=-(a-b)=-d.

故k=-1且c与d反向.

答案D

4.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个顶点的坐标是(　　)

A.(1,5)或(5,5)

B.(1,5)或(-3,-5)

C.(5,-5)或(-3,-5)

D.(1,5)或(5,-5)或(-3,-5)

解析设A(-1,0),B(3,0),C(1,-5),第四个顶点为D,

①若这个平行四边形为▱ABCD,

则,∴D(-3,-5);

②若这个平行四边形为▱ACDB,

则,∴D(5,-5);

③若这个平行四边形为▱ACBD,

则,∴D(1,5).

综上所述,D点坐标为(1,5)或(5,-5)或(-3,-5).

答案D

5.已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,),3a-b=　　　　,若a-2b与c共线,则k=　　　　. 

答案(3,4)　1

6.已知=(6,1),=(4,k),=(2,1).若A,C,D三点共线,则k=　　　　　. 

解析因为=(6,1),=(4,k),=(2,1),

所以=(10,k+1).

又A,C,D三点共线,

所以,所以10×1-2(k+1)=0,解得k=4.

答案4

7.已知点A(1,1),B(3,-1),C(a,b).

(1)若A,B,C三点共线,求a与b之间的数量关系;

(2)若=2,求点C的坐标.

解(1)若A,B,C三点共线,则共线.

∵=(3,-1)-(1,1)=(2,-2),=(a-1,b-1),

∴2(b-1)-(-2)(a-1)=0,∴a+b=2.

(2)若=2,则(a-1,b-1)=(4,-4),

∴解得

∴点C的坐标为(5,-3).

8.平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1).

(1)求满足a=mb+nc的实数m,n的值;

(2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k的值.

解(1)因为a=mb+nc,

所以(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).

所以解得

(2)因为(a+kc)∥(2b-a),

又a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2),

所以2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0,解得k=-.