高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后测评

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后测评，共6页。试卷主要包含了设向量a=,b=,c=，已知平面向量a=,b=等内容，欢迎下载使用。
6.3.5　平面向量数量积的坐标表示课后·训练提升基础巩固1.已知向量a=(0,-2),b=(1,),则向量a在b方向上的投影为(　　)A. B.3 C.- D.-3解析向量a在b方向上的投影为=-3.答案D2.已知向量a=(1,k),b=(2,2),且a+b与a共线,则a·b的值为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4解析a+b=(3,k+2),由a+b与a共线,可得3k-(k+2)=0,解得k=1,则a=(1,1),从而a·b=1×2+1×2=4.答案D3.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b=(　　)A. B. C. D.(1,0)解析设b=(x,y),其中y≠0,则a·b=x+y=.由解得即b=.答案B4.已知向量a=(4,3),2a+b=(3,18),则a,b夹角的余弦值等于(　　)A. B.- C. D.-解析设b=(x,y),则2a+b=(8+x,6+y)=(3,18),所以解得故b=(-5,12),所以cos<a,b>=.答案C5.已知向量a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a-3b)⊥c,则实数k的值为(　　)A.- B.0 C.3 D.解析∵2a-3b=(2k-3,-6).又(2a-3b)⊥c,∴(2a-3b)·c=0,即(2k-3)×2+(-6)=0,解得k=3.答案C6.已知A,B,C是锐角△ABC的三个内角,向量p=(sin A,1),q=(1,-cos B),则p与q的夹角是(　　)A.锐角 B.钝角 C.直角 D.不确定解析因为△ABC是锐角三角形,所以A+B>,即A>-B.又因函数y=sinx在上单调递增,所以sinA>sin=cosB,所以p·q=sinA-cosB>0,又因为p与q不共线,所以p与q的夹角是锐角.答案A7.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)⊥b,则|a|=　　　　　,|c|=　　　　　. 答案8.若向量a=(2,3),b=(-1,2),则|a-2b|=　　　　　. 解析∵a=(2,3),b=(-1,2),∴a-2b=(4,-1),∴|a-2b|=.答案9.已知a=(2,1),b=(-1,-1),c=a+kb,d=a+b,c与d的夹角为,则实数k的值为　　　　　. 解析c=a+kb=(2-k,1-k),d=a+b=(1,0),由题意,得,解得k=.答案10.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).　(1)若a⊥b,求x的值;(2)若a∥b,求|a-b|.解(1)∵a⊥b,∴a·b=0,即1×(2x+3)+x×(-x)=0,解得x=-1或x=3.(2)∵a∥b,∴1×(-x)-x(2x+3)=0,解得x=0或x=-2.当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),∴a-b=(-2,0),∴|a-b|=2.当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),∴a-b=(2,-4),∴|a-b|=2.综上所述,|a-b|=2或2.11.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角α为钝角,求实数λ的取值范围.解∵a=(1,-1),b=(λ,1),∴|a|=,|b|=,a·b=λ-1.∵a,b的夹角α为钝角,∴∴λ<1且λ≠-1.∴λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).能力提升1.已知O为坐标原点,向量=(2,2),=(4,1),在x轴上有一点P,使有最小值,则点P的坐标是 (　　)A.(-3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0)解析设P(x,0),则=(x-2,-2),=(x-4,-1),∴=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x-3)2+1.故当x=3时,最小,此时点P的坐标为(3,0).答案C2.已知a=(1,1),b=(0,-2),且ka-b与a+b的夹角为120°,则k=(　　)A.-1+ B.-2 C.-1± D.1解析∵|ka-b|=,|a+b|=,(ka-b)·(a+b)=(k,k+2)·(1,-1)=k-k-2=-2,ka-b与a+b的夹角为120°,∴cos120°=,即-,化简并整理,得k2+2k-2=0,解得k=-1±.答案C3.已知O为坐标原点,=(-2,1),=(0,2)且,则点C的坐标是(　　)A.(2,6) B.(-2,-6) C.(2,-6) D.(-2,6)解析设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).∵,∴2(x+2)=0. ①∵,∴2x+y-2=0, ②由①②可得∴C(-2,6).答案D4.角α顶点在坐标原点O,始边与x轴的非负半轴重合,点P在α的终边上,点Q(-3,-4),且tan α=-2,则夹角的余弦值为(　　)A.- B.C.或- D.或-解析∵tanα=-2,∴可设P(x,-2x),cos<>=.当x>0时,cos<>=;当x<0时,cos<>=-.答案C5.设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=　　　　　. 解析方法一:a+b=(m+1,3),又|a+b|2=|a|2+|b|2.∴(m+1)2+32=m2+1+5,解得m=-2.方法二:由|a+b|2=|a|2+|b|2,得a·b=0,即m+2=0,解得m=-2.答案-26.设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量m,n之间的一个运算“⊗”为m⊗n=(ac-bd,ad+bc),若已知p=(1,2),p⊗q=(-4,-3),则q的坐标为　　　　　. 解析设q=(x,y),则p⊗q=(x-2y,y+2x)=(-4,-3).∴答案(-2,1)7.设平面向量a=(cos α,sin α)(0≤α<2π),b=-,且a与b不共线.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(2)若两个向量a+b与a-b的模相等,求角α.(1)证明由题意知,a+b=cosα-,sinα+,a-b=cosα+,sinα-.∵(a+b)·(a-b)=cos2α-+sin2α-=0,∴向量a+b与a-b垂直.(2)解|a|=1,|b|=1,由题意知,(a+b)2=(a-b)2,化简得a·b=0,∴-cosα+sinα=0,∴tanα=.又0≤α<2π,∴α=或α=.8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:AB⊥AD;(2)若点C使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标以及矩形ABCD的两对角线所成的锐角的余弦值.(1)证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),∴=(1,1),=(-3,3).又=1×(-3)+1×3=0,∴,即AB⊥AD.(2)解∵,四边形ABCD为矩形,∴.设C点坐标为(x,y),则=(1,1),=(x+1,y-4),∴解得∴点C的坐标为(0,5).由于=(-2,4),=(-4,2),∴=8+8=16,||=2,||=2.设的夹角为θ,则cosθ=,∴矩形ABCD的两条对角线所成的锐角的余弦值为.