数学必修 第二册6.1 平面向量的概念精练

6.4.1　平面几何中的向量方法

课后·训练提升

基础巩固

1.已知A,B,C,D四点的坐标分别为(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则此四边形为(　　)

A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形

解析∵=(3,3),=(-2,-2),

∴=-,∴共线.

又||≠||,∴该四边形为梯形.

答案A

2.如图,BC,DE是半径为1的圆O的两条直径,=2,则的值是(　　)

A.- B.- C.- D.-

解析因为,

且=-,

所以=()·()

=-1=-.

答案B

3.在四边形ABCD中,若=(1,2),=(-4,2),则该四边形的面积为(　　)

A. B.2 C.5 D.10

解析∵=0,∴AC⊥BD.

∴四边形ABCD的面积S=|||=×2=5.

答案C

4.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,点E为AB的中点,且,则||等于(　　)

A. B.2

C.3 D.2

解析以A为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴正方向建立直角坐标系如图所示.

设||=a(a>0),则A(0,0),C(4,a),D(0,a),E(2,0),

所以=(2,-a),=(4,a).　

因为,所以=0,

所以2×4+(-a)a=0,即a2=8.

所以a=2,所以=(2,-2),

所以||==2.

答案B

5.在▱ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若=1,则AB的长为(　　)

A.1 B. C. D.

解析设AB的长为a(a>0),

因为,

所以=()·

==-a2+a+1.

由已知,得-a2+a+1=1,

又因为a>0,所以a=,即AB的长为.

答案B

6.在四边形ABCD中,=-=0,则四边形为(　　)

A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形

解析∵=-,即,

∴AB与DC平行且相等,

∴四边形ABCD是平行四边形.

又=0,

∴,即AC⊥BD,∴▱ABCD是菱形.

答案D

7.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足,则点O是△ABC的(　　)

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高线的交点

解析∵,

∴()·=0,

∴=0,∴OB⊥AC.

同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高线的交点.

答案D

8.已知在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E,F分别为BC,CD的中点,则EF=　　　　　,()·=　　　　　. 

解析如图,以A为坐标原点O,以的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(2,0),D(0,1),

∴C(2,1).

∵E,F分别为BC,CD的中点,

∴E,F(1,1),∴,

∴EF=,

∴=(-2,1),

∴()·=3×(-2)+×1=-.

答案　-

9.已知直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相交于A,B两点,若|AB|=,则=　　　　　. 

解析如图,作OD⊥AB于点D,则在Rt△AOD中,OA=1,AD=,

所以∠AOD=60°,∠AOB=120°,所以=||||cos120°=1×1×=-.

答案-

10.已知点A(-1,2),B(0,-2),且2||=3||,若点D在线段AB上,求点D的坐标.

解设D(x,y),由题意知,2||=3||,

且点D在线段AB上,所以2=3,

即2(x+1,y-2)=3(-x,-2-y).

所以解得

故点D的坐标为.

11.已知在正方形ABCD中,E,F分别是CD,AD的中点,BE,CF交于点P.

求证:(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

证明建立平面直角坐标系如图所示,设AB=2,则A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).

(1)=(-1,2),=(-2,-1).

∴=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,

∴,即BE⊥CF.

(2)设点P坐标为(x,y),则=(x,y-1),

=(2,1),∵,

∴x=2(y-1),即x=2y-2,

同理,由∥,得y=-2x+4,

由

∴点P的坐标为.

∴||==2=||,即AP=AB.

能力提升

1.在△ABC中,D为BC边的中点,已知=a,=b,则下列向量中与同向的是(　　)

A. B. C. D.

解析(a+b),而是与a+b同方向的单位向量.故选A.

答案A

2.在△ABC中,AB=3,AC=2,,则的值为(　　)

A.- B. C.- D.

解析因为,所以点D是BC的中点,则),),所以)·)=(||2-)=(22-32)=-.故选C.

答案C

3.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若,则的值是(　　)

A. B.2

C.0 D.1

解析∵·()=|=,

∴||=1,||=-1,∴=()·()==--1)+1×2=-2++2=.故选A.

答案A

4.如图,设P为△ABC内一点,且2+2=0,则S△ABP∶S△ABC=(　　)

A. B. C. D.

解析设AB的中点是D,连接PD(图略).

∵=2=-,

∴=-,

∴P为CD的五等分点,

∴△ABP的面积为△ABC的面积的.

答案A

5.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接DE并延长到点F,使得=2,则的值为(　　)

A.- B. C. D.

解析方法一:以E为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴正方向

建立平面直角坐标系如图所示,则A,B,C,E(0,0),D,由=2,得F,则=(1,0),所以.

方法二:=-.

答案B

6.已知A,B是圆心为C,半径为的圆上的两点,且|AB|=,则=　　　　　. 

解析由弦长|AB|=,可知∠ACB=60°,故=-=-||||cos∠ACB=-.

答案-

7.如图所示,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.

证明设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,

所以a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2,又已知a2-b2=c2-d2,

所以e·c=e·d,即e·(c-d)=0,得=0,所以AD⊥BC.

8.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=6,求两条直角边的中线所夹的锐角的余弦值.

解方法一:如图(1),在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别是BC,AC边的中点,BC=4,AC=6.

(1)

则CD=2,CE=3,

∴||==2,

||==5,

=()·()

=

=6×3+0+0+2×4=26.

设的夹角为θ,

则cosθ=.

故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.

方法二:如图(2)所示,

(2)

以C为坐标原点,的方向分别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系.

其中点A(0,6),B(4,0),D(2,0),E(0,3),则=(2,-6),=(4,-3),所以=2×4+(-6)×(-3)=26,||==2,||==5.

设的夹角为θ,

则cosθ=.

故直线AD与BE所夹的锐角的余弦值为.