高中6.1 平面向量的概念综合训练题

6.4.2　向量在物理中的应用举例

课后·训练提升

基础巩固

1.已知三个力F1=(-2,-1),F2=(-3,2),F3=(7,-3)同时作用于某物上一点,为使该物体保持平衡,再加上一个力F4,则F4等于(　　)

A.(-2,-2) B.(2,-2) C.(-1,2) D.(-2,2)

解析由物理知识知物体平衡,则所受合力为0,所以F1+F2+F3+F4=0,故F4=-(F1+F2+F3)=(-2,2).故选D.

答案D

2.已知作用在点A的三个力F1=(3,4),F2=(2,-5),F3=(3,1)且A(1,1),则合力F=F1+F2+F3的终点坐标为(　　)

A.(9,1) B.(1,9) C.(9,0) D.(0,9)

解析F=F1+F2+F3=(3,4)+(2,-5)+(3,1)=(8,0),设合力F的终点为P(x,y),则+F=(1,1)+(8,0)=(9,1).

答案A

3.已知质点P在平面上做匀速直线运动,速度向量ν=(4,-3)(即点P的运动方向与ν相同,且每秒移动的距离为|ν|个单位).设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(　　)

A.(-2,4) B.(-30,25) C.(10,-5) D.(5,-10)

解析设点(-10,10)为点A,5秒后P点的坐标为A1(x,y),则=(x+10,y-10),

由题意可知,=5ν,

即(x+10,y-10)=(20,-15),

所以解得

答案C

4.已知两个力F1,F2的夹角为90°,它们的合力大小为10 N,合力与F1的夹角为60°,那么F1的大小为(　　)

A.5 N B.5 N C.10 N D.5 N

解析如图,有|F1|=|F|cos60°=10×=5(N).

答案B

5.河水的流速为5 m/s,若一艘小船沿垂直于河岸方向以12 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　)

A.13 m/s B.12 m/s C.17 m/s D.15 m/s

解析设小船在静水中的速度为v1,

河水的流速为v2,

v1与v2的合速度为v,

∵为了使航向垂直河岸,船头必须斜向上游方向,

即小船在静水中的速度v1斜向上游方向,河水速度v2平行于河岸,合速度v指向对岸,

∴静水速度|v1|==13(m/s).

答案A

6.当两人提起重量为G的旅行包时,夹角为θ,两人用力大小都为|F|,若|F|=|G|,则θ的值为(　　)

A.30° B.60° 

C.90° D.120°

解析作=F1,=F2,=-G(图略),

则,

当|F1|=|F2|=|G|时,△OAC为正三角形,

所以∠AOC=60°,从而∠AOB=120°.

答案D

7.飞机以300 km/h的速度斜向上飞行,方向与水平面成30°角,则飞机在水平方向的分速度大小是　　　　　 km/h. 

解析如图所示,|v1|=|v|cos30°=300×=150(km/h).

答案150

8.一物体在力F1=(3,-4),F2=(2,-5),F3=(3,1)的共同作用下从点A(1,1)移动到点B(0,5).在这个过程中三个力的合力大小是　　　　　N,三个力的合力所做的功是　　　　　J. 

答案8　-40

9.在水流速度为4 km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8 km/h的速度航行,求船实际航行的速度的大小.

解如图,用v0表示水流速度,v1表示与水流垂直的方向的速度.

则v0+v1表示船实际航行的速度,

∵|v0|=4,|v1|=8,

∴|v0+v1|==4.

故船实际航行的速度为4km/h.

10.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).

(1)求力F1,F2分别对质点所做的功;

(2)求力F1,F2的合力F对质点所做的功.

解(1)=(7,0)-(20,15)=(-13,-15),

W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)

=3×(-13)+4×(-15)=-99,

W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)

=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3.

即力F1,F2对质点所做的功分别为-99和-3.

(2)W=F·=(F1+F2)·

=[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15)

=(9,-1)·(-13,-15)

=9×(-13)+(-1)×(-15)

=-117+15=-102.

即合力F对质点所做的功为-102.

能力提升

1.已知一条两岸平行的河流河水的流速为2 m/s,一艘小船以垂直于河岸方向10 m/s的速度驶向对岸,则小船在静水中的速度大小为(　　)

A.10 m/s B.2 m/s C.4 m/s D.12 m/s

答案B

2.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力大小为              (　　)

A.40 N B.10 N C.20 N D.10 N

解析因为|F1+F2|=20.

又F1⊥F2,所以|F1|=|F2|=10.

当F1与F2夹角为120°时,

|F1+F2|=

==10(N).

答案B

3.一质点受到平面上的三个力F1,F2,F3(单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知F1,F2成120°角,且F1,F2的大小分别为1和2,则有(　　)

A.F1,F3成90°角 

B.F1,F3成150°角

C.F2,F3成90°角 

D.F2,F3成60°角

解析由F1+F2+F3=0,得F3=-(F1+F2),则

=(F1+F2)2=+2|F1||F2|cos120°=1+4+4×=3,得|F3|=,由|F1|=1,|F2|=2,|F3|=,知F1,F3成90°角.故选A.

答案A

4.初速度为v0,发射角为θ,若要使炮弹在水平方向的速度为v0,则发射角θ应为(　　)

A.15° B.30° C.45° D.60°

解析∵炮弹的水平速度v=v0cosθ=v0,

∴cosθ=.∴θ=60°.

答案D

5.一个重20 N的物体从倾斜角为θ,斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端,若重力做的功是10 J,则θ=　　　　　. 

解析∵WG=G·s=|G||s|cos(90°-θ)

=20×1×cos(90°-θ)=10J,

∴cos(90°-θ)=,∴θ=30°.

答案30°

6.如图,在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体,绳子与铅垂方向的夹角为θ,绳子所受到的拉力为F1,求:

(1)|F1|,|F2|随角θ的变化而变化的情况;

(2)当|F1|≤2|G|时,角θ的取值范围.

解(1)如图,由力的平衡及向量加法的平行四边形法则知:

-G=F1+F2,

|F1|=,

|F2|=|G|tanθ,

当θ从0°趋向于90°时,|F1|,|F2|皆逐渐增大.

(2)令|F1|=≤2|G|,得cosθ≥,又0°≤θ≤90°,则0°≤θ≤60°.

7.某人骑车以每小时a千米的速度向东行驶,感到风从正北方向吹来,而当速度为每小时2a千米时,感到风从东北方向吹来,试求实际风速和方向.

解设a表示此人以每小时a千米的速度向东行驶的向量,无风时此人感到风速为-a,

设实际风速为v,那么此时人感到风速为v-a,

设=-a,=-2a,=v,因为,

所以=v-a,感到由正北方向吹来的风速.

因为,所以=v-2a.

于是当此人的速度是原来的2倍时所感受到由东北方向吹来的风速就是.

由题意得,∠PBO=45°,PA⊥BO,BA=AO,

从而可知,△POB为等腰直角三角形,所以PO=PB=a,即|v|=a.

所以实际风速是每小时a千米的西北风.