高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第2课时习题

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第2课时　正弦定理

课后·训练提升

基础巩固

1.在△ABC中,a=5,b=3,则sin A∶sin B的值是(　　)

A. B. C. D.

解析根据正弦定理,得.

答案A

2.在△ABC中,a=bsin A,则△ABC一定是(　　)

A.锐角三角形 B.直角三角形

C.钝角三角形 D.等腰三角形

解析由题意有=b=,则sin B=1,

又B∈(0,π),故角B为直角,故△ABC是直角三角形.

答案B

3.在△ABC中,若,则C的值为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析由正弦定理知,

∴,∴cos C=sin C,∴tan C=1,

又C∈(0°,180°),∴C=45°.故选B.

答案B

4.在△ABC中,若A=105°,B=45°,b=2,则c等于(　　)

A.1 B.2 C. D.

解析∵A=105°,B=45°,∴C=30°.

由正弦定理,得c==2.

答案B

5.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则cos B等于(　　)

A.- B. C.- D.

解析由正弦定理,得,

∴sin B=.

∵a>b,∴A>B,又A=60°,∴B为锐角.

∴cos B=.

答案D

6.在△ABC中,已知A=,a=,b=1,则c的值为(　　)

A.1 B.2 C.-1 D.

解析由正弦定理,可得,

∴sin B=.

由a>b,得A>B,∴B∈,∴B=.

故C=,由勾股定理得c=2.

答案B

7.在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A等于(　　)

A. B. C. D.

解析如图,设BC边上的高为AD,不妨令AD=a.

由B=,知BD=a.

又AD=BC=BD,

∴DC=2a,AC=a.

由正弦定理,知sin∠BAC=·3a=.

答案D

8.在△ABC中,A=,a=c,则B=　　　　　,=　　　　　. 

解析在△ABC中,A=,a=c,

由正弦定理,得,

,sin C=,由于c<a,且C∈(0,π).

故C=,则B=π-.

三角形是等腰三角形,B=C,则b=c,则=1.

答案　1

9.在△ABC中,若C=2B,则的取值范围为　　　　　. 

解析因为A+B+C=π,C=2B,

所以A=π-3B>0,所以0<B<,

所以<cos B<1.

因为=2cos B,

所以1<2cos B<2,故1<<2.

答案(1,2)

10.在△ABC中,A=60°,a=4,b=4,求B.

解由正弦定理,得sin B=.

∵a>b,∴A>B,∴B只有一解,∴B=45°.

能力提升

1.在△ABC中,已知B=60°,最大边与最小边的比为,则三角形的最大角为(　　)

A.60° B.75° C.90° D.115°

解析不妨设a为最大边,c为最小边,

由题意有,

即.

整理得(3-)sin A=(3+)cos A.

∴tan A=2+,

又A∈(0°,120°),∴A=75°.故选B.

答案B

2.在△ABC中,a=4,b=,5cos(B+C)+3=0,则角B的大小为(　　)

A. B. C. D.π

解析由5cos(B+C)+3=0,得cos A=,

∴A∈,∴sin A=.

由正弦定理得,即,

∴sin B=.

又a>b,∴A>B,且A∈,

∴B必为锐角,∴B=.

答案A

3.在单位圆上有三点A,B,C,设△ABC三边长分别为a,b,c,则=　　　　　. 

解析∵△ABC的外接圆直径为2R=2,

∴=2R=2,

∴=2+1+4=7.

答案7

4.锐角三角形的内角分别是A,B,C,并且A>B.则sin A+sin B和cos A+cos B的大小关系为　　　　　　　　. 

解析在锐角三角形中,

∵A+B>,∴A>-B,

函数y=sin x在区间上是增函数,则有sin A>sin,即sin A>cos B,

同理sin B>cos A,故sin A+sin B>cos A+cos B.

答案sin A+sin B>cos A+cos B

5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　　. 

解析在△ABC中,由cos A=,cos C=,可得sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,又a=1,由正弦定理得b=.

答案

6.在△ABC中,若a,b,c分别为内角A,B,C所对的边,则的值为　　　　　. 

解析由正弦定理知,,

代入,得

=

==0.

答案0

7.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B=,cos A=,b=.

(1)求sin C的值;

(2)求a的值.

解(1)∵B=,cos A=,

∴C=-A,sin A=,

∴sin C=sin cos A+sin A=.

(2)由(1),知sin A=,又B=,b=,

∴由正弦定理,得a=.

8.在△ABC中,a=3,b=2,B=2A.

(1)求cos A的值;

(2)求c的值.

解(1)因为a=3,b=2,B=2A.

所以在△ABC中,由正弦定理得,即.

所以.故cos A=.

(2)由(1)知cos A=,

所以sin A=.

又因为B=2A,所以cos B=2cos2A-1=.

所以sin B=.

在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=.所以c==5.