人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念第3课时当堂达标检测题

6.4.3　余弦定理、正弦定理

第3课时　余弦定理、正弦定理应用举例

课后·训练提升

基础巩固

1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆,甲观测的仰角为50°,乙观测的仰角为40°,用d1,d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离,那么有(忽略两人的身高差距)(　　)

A.d1>d2 B.d1<d2 C.d1>20 m D.d2<20 m

解析仰角大说明距离小,仰角小说明距离大,即d1<d2.

答案B

2.学校体育馆的人字屋架为等腰三角形,如图,测得AC的长度为4 m,∠A=30°,则其跨度AB的长为(　　)

A.12 m B.8 m C.3 m D.4 m

解析由题意知,∠A=∠B=30°,

所以∠C=180°-30°-30°=120°,

由正弦定理,得,

即AB==4.

答案D

3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为(　　)

A. n mile/h B.34 n mile/h

C. n mile/h D.34 n mile/h

解析如图所示,在△PMN中,由正弦定理,得,

∴MN=34,∴v= n mile/h.

答案A

4.若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°,此人往金字塔方向走了80米到达点B,测得金字塔顶端的仰角为45°,则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)(参考数据≈1.732)(　　)

A.110米 B.112米 C.220米 D.224米

解析如图,设CD为金字塔,AB=80米.设CD=h,则由已知得(80+h)×=h,h=40(+1)≈109(米).选项A最接近.故选A.

答案A

5.海上的A,B两个小岛相距10 n mile,从A岛望C岛和B岛成60°的视角,从B岛望C岛和A岛成75°的视角,则B岛与C岛之间的距离是(　　)

A.10 n mile B. n mile

C.5 n mile D.5 n mile

解析由题意,作出示意图,如图,在△ABC中,C=180°-60°-75°=45°.由正弦定理,得,解得BC=5(n mile).

答案D

6.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离,已知AC=BC=1 km,且∠ACB=120°,则A,B两点间的距离为(　　)

A. km B. km C.1.5 km D.2 km

解析根据余弦定理AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos C,

∴AB==(km).故选A.

答案A

7.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3 km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为　　　　　 km. 

解析如图所示,由题意可知AB=3,BC=2,∠ABC=150°.

由余弦定理,得

AC2=27+4-2×3×2×cos 150°=49,则AC=7.

故A,C两地的距离为7 km.

答案7

8.坡度为45°的斜坡长为100 m,现在要把坡度改为30°,则坡底要伸长　　　　　 m. 

解析画出示意图,如图所示.

BD=100,∠BDA=45°,∠BCA=30°,

设CD=x,则(x+DA)·tan 30°=DA·tan 45°,

又DA=BD·cos 45°=100×=50,

所以x=-DA=-50=50()m.

答案50()

9.一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫,然后向右转105°,爬行10 cm捕捉到另一只小虫,这时它向右转135°爬行回它的出发点,那么x=　　　　　 cm. 

解析如图所示,

设蜘蛛原来在O点,先爬行到A点,再爬行到B点,易知在△AOB中,AB=10 cm,∠OAB=75°,∠ABO=45°,

则∠AOB=60°.由正弦定理知,

x=(cm).

答案

10.如图,C,D两点与烟囱底部A在同一水平直线上,利用高为1.5 m的测角仪器,在点C1,D1处测得烟囱顶部B的仰角分别是α=45°和β=60°,点C,D间的距离是12 m.计算烟囱的高.(结果精确到0.01 m)

解如图,延长C1D1,交AB于点A1,在△BC1D1中,∠BD1C1=180°-60°=120°,∠C1BD1=60°-45°=15°,

由正弦定理,得,

所以BC1==(18+6)(m),

从而A1B=BC1=(18+6)(m),

因此AB=A1B+AA1=18+6+1.5≈29.89(m).

即烟囱的高约为29.89 m.

11.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,求建筑物的高度.

解设建筑物的高度为h,由题图知,

PA=2h,PB=h,PC=h.

∴在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理,

得cos∠PBA=,①

cos∠PBC=.②

∵∠PBA+∠PBC=180°,

∴cos∠PBA+cos∠PBC=0.③

由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30 m.

能力提升

1.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是(　　)

A.240(-1)m B.180(-1)m

C.120(-1)m D.30(+1)m

解析由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60 m,

∴AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC==120(-1)m.

答案C

2.起重机装置示意图如图所示,已知支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为(　　)

A.30 m B. m

C.15 m D.45 m

解析在△ABC中,AC=15 m,AB=5 m,BC=10 m,

由余弦定理得cos∠ACB=

==-,

∴sin∠ACB=.

又∠ACB+∠ACD=180°,

∴sin∠ACD=sin∠ACB=.

在Rt△ADC中,AD=AC·sin∠ACD=15× m.

答案B

3.如图所示,要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C,D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°,30°,在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是(　　)

A.100 m B.400 m 

C.200 m D.500 m

解析设AB=x,在Rt△ABC中,∠ACB=45°,

∴BC=AB=x.在Rt△ABD中,∠ADB=30°,

∴BD=x.

在△BCD中,∠BCD=120°,CD=500 m,

由余弦定理得(x)2=x2+5002-2×500xcos 120°,

解得x=500 m.

答案D

4.如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45°,与观测站A距离20海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北θ(0°<θ<45°)的C处,且cos θ=.已知A,C两处的距离为10海里,则该货船的船速为(　　)

A.4海里/时 B.3海里/时

C.2海里/时 D.4海里/时

解析因为cos θ=,0°<θ<45°,所以sin θ=,cos(45°-θ)=.在△ABC中,BC2=(20)2+102-2×20×10×=340,所以BC=2,该货船的船速为=4海里/时.

答案A

5.如图,为测得河对岸塔AB的高,先在河岸上选一点C,使点C在塔底B的正东方向上,测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D,测得∠BDC=45°,若AB⊥平面BCD,则塔AB的高是　　　　　m. 

解析在△BCD中,CD=10 m,∠BDC=45°,∠BCD=15°+90°=105°,∴∠DBC=30°.

由正弦定理得,,

∴BC==10(m).

在Rt△ABC中,tan 60°=,

∴AB=BC·tan 60°=10(m).

答案10

6.甲船在A处观察乙船,乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的倍,则甲船应沿　　　　　方向行驶才能追上乙船;追上时甲船行驶了　　　　　 n mile. 

解析如图所示,设在C处甲船追上乙船,乙船到C处用的时间为t,乙船的速度为v,

则BC=tv,AC=tv,又B=120°,则由正弦定理,得,

∴sin∠CAB=,∴∠CAB=30°,∴甲船应沿北偏东30°方向行驶.又∠ACB=180°-120°-30°=30°,∴BC=AB=a n mile,

∴AC=

=a(n mile).

答案北偏东30°　a

7.海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75°,距离为12 n mile;在A处看灯塔C,在货轮的北偏西30°,距离为8 n mile;货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在其东偏南30°,求:

(1)A处与D处之间的距离;

(2)灯塔C与D处之间的距离.

解由题意,画出示意图.

(1)在△ABD中,由已知得∠ADB=60°,B=45°,AB=12 n mile.

由正弦定理得

AD=sin 45°=24(n mile).

(2)在△ADC中,由余弦定理得

CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos 30°=242+(8)2-2×24×8=192,

故CD=8(n mile).

答:(1)A处与D处之间的距离为24 n mile;(2)灯塔C与D处之间的距离为8 n mile.

8.在某次地震时,震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座城市B,C,D,三座城市在同一直线上.已知B,C两市相距20 km,C,D两市相距34 km,C市在B,D两市之间,如图所示.某时刻C市感到地表震动,8 s后B市感到地表震动,20 s后D市感到地表震动.已知震波在地表传播的速度为1.5 km/s,求震中A到B,C,D三市的距离.

解由题意可知,在△ABC中,AB-AC=1.5×8=12(km).

在△ACD中,AD-AC=1.5×20=30(km).

设AC=x km,

则AB=(12+x)km,AD=(30+x)km.

在△ABC中,cos ∠ACB=.

在△ACD中,cos ∠ACD=.

∵B,C,D在同一直线上,

∴cos∠ACB=-cos∠ACD,

即=-,解得x=.

∴AB= km,AD= km.

故震中A到B,C,D三市的距离分别为 km, km, km.