高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.1 复数的概念巩固练习

7.1.1　数系的扩充和复数的概念

课后·训练提升

基础巩固

1.若复数z=(x2+x-2)+(x+2)i为纯虚数,则实数x= (　　)

A.1 B.-2

C.1或-2 D.-1或2

解析由题意,可知解得x=1.

答案A

2.已知复数z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,a∈R,若z1=z2,则a=(　　)

A.2 B.3 C.-3 D.9

解析因为z1=a+2i,z2=3+(a2-7)i,且z1=z2,

所以解得a=3.

答案B

3.已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+2 018i=2-bi,则a2+bi=(　　)

A.2 018+2i B.2 018+4i

C.2+2 018i D.4-2 018i

解析因为a+2018i=2-bi,所以a=2,-b=2018,即a=2,b=-2018,所以a2+bi=4-2018i.

答案D

4.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是(　　)

A.|a|=|b| B.a<0,且a=-b

C.a>0,且a≠b D.a≤0

解析复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,即a≤0.

答案D

5.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为　　　　　. 

解析由题意,可知a2-3+2a=0,解得a=1或a=-3.

答案1或-3

6.若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为　　　　　. 

解析由题意,得解得m=2.

答案2

7.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i(m,n∈R),且z1=z2,则m=　　　　　,n=　　　　　. 

解析由题意,得解得

答案2　±2

8.在给出的下列结论中,正确结论的个数为　　　　　. 

①若x是实数,则x可能不是复数;

②若z是虚数,则z不是实数;

③一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;

④若a,b∈R,且a>b,则a+i>b+i.

解析实数是复数,故①错误;②正确;复数为纯虚数的充要条件是实部为零,且虚部不为零,故③错误;两个虚数不能比较大小,故④错误.

答案1

9.(1)已知2x-1+(y+1)i=x-y+(-x-y)i,求实数x,y的值;

(2)已知+(x2-2x-3)i=0,求实数x的值.

解(1)∵x,y∈R,

∴由复数相等,可得解得

(2)∵x∈R,

∴由复数相等,可得解得x=3.

10.当实数m为何值时,复数z=(m2+m-6)i+是(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数?

解(1)由解得m=2.

故当m=2时,z是实数.

(2)由解得m≠2,且m≠-3.

故当m≠2,且m≠-3时,z是虚数.

(3)由解得m=3或m=4.

故当m=3或m=4时,z是纯虚数.

能力提升

1.若复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则(　　)

A.a=-1 B.a≠-1,且a≠2

C.a≠-1 D.a≠2

解析因为复数z=(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,所以有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.

答案C

2.已知集合M={1,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},N={1,3},M∩N={1,3},则实数m的值为(　　)

A.4 B.-1 C.4或-1 D.1或6

解析由题意,知解得m=-1.

答案B

3.已知关于x的方程x2+mx=-2+(2x+2)i(m∈R)有实数根n,且z=m+ni,则复数z等于(　　)

A.3+i B.3-i C.-3-i D.-3+i

解析由题意,可知n2+mn=-2+(2n+2)i,

∴解得

∴z=3-i.

答案B

4.若复数z1=sin 2θ+icos θ,z2=cos θ+isin θ(θ∈R),z1=z2,则θ等于(　　)

A.kπ(k∈Z) B.2kπ+(k∈Z)

C.2kπ±(k∈Z) D.2kπ+(k∈Z)

解析由题意,可知

∴cosθ=,sinθ=.∴θ=+2kπ,k∈Z.

答案D

5.已知z1=(-4a+1)+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R.若z1>z2,则a的取值集合为　　　　　. 

解析∵z1>z2,∴

解得a=0.故a的取值集合为{0}.

答案{0}

6.已知复数z1=m2+1+(m3+3m2+2m)i,z2=4m-2+(m2-5m)i,m为实数.若z1为实数,z2为虚数,则m的取值集合为　　　　　. 

解析∵z1为实数,z2为虚数,

∴解得m=-1或m=-2.

∴m的取值集合为{-1,-2}.

答案{-1,-2}

7.设复数z=log2(m2-3m-3)+log2(3-m)i,m∈R,若z是纯虚数,求m的值.

解由题意得解得m=-1.

8.已知集合M={(a+3)+(b2-1)i,8},N={3i,(a2-1)+(b+2)i},M∩N⊆M,且M∩N≠⌀,求整数a,b的值.

解由题意,得(a+3)+(b2-1)i=3i, ①

或8=(a2-1)+(b+2)i, ②

或(a+3)+(b2-1)i=(a2-1)+(b+2)i. ③

由①得,a=-3,b=±2.

由②得,a=±3,b=-2.

由③得,a,b无整数解,不符合题意.

经检验,a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2均满足题意.

故a=-3,b=2或a=-3,b=-2或a=3,b=-2.