高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用当堂达标检测题

8.5.3　平面与平面平行

课后·训练提升

1.若平面α∥平面β,直线a⊂α,点B∈β,则在平面β内过点B的所有直线中(　　)

A.不一定存在与a平行的直线

B.只有两条与a平行的直线

C.存在无数条与a平行的直线

D.存在唯一一条与a平行的直线

解析因为点a与点B可确定一个平面,该平面与平面β的交线即为在平面β内过点B,且与点a平行的直线,所以只有唯一一条.

答案D

2.在下列四个正方体图形中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,P分别为其所在棱的中点,则能得到AB∥平面MNP的图形是(　　)

A.①② B.②④ C.②③ D.①④

答案D

3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是C1D1,BC,A1D1的中点,则下列结论正确的是(　　)

A.MN∥AP

B.MN∥BD1

C.MN∥平面BB1D1D

D.MN∥平面BDP

解析取B1C1的中点E,连接EM,NE,B1D1,BD,如图.

因为M,N分别是C1D1,BC的中点,所以BB1∥NE,B1D1∥EM,又EM,NE⊄平面BB1D1D,BB1,B1D1⊂平面BB1D1D,

所以EM∥平面BB1D1D,NE∥平面BB1D1D.

又EM∩NE=E,所以平面EMN∥平面BB1D1D.

所以MN∥平面BB1D1D.

答案C

4.给出下列说法:

①若直线a∥直线b,a⊂平面α,b⊂平面β,则α∥β;

②若α∥β,直线a与α相交,则a与β相交;

③若l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β,则α∥β;

④若直线a∥平面β,直线b∥平面α,且α∥β,则a∥b.

其中说法错误的序号是　　　　　. 

解析对于①,α,β可能相交,故①错误.

对于②,假设直线a与平面β平行或直线a⊂β,则由平面α∥平面β,知a⊂α或a∥α,这与直线a与α相交矛盾,所以a与β相交,故②正确.

对于③,当l∥m时,α,β可能相交,故③错误.

对于④,a与b平行、相交或异面都有可能,故④错误.

答案①③④

5.已知一正方体的平面展开图如图所示.则在这个正方体中,①BM∥平面DE;②CN∥平面AF;③平面BDM∥平面AFN;④平面BDE∥平面NCF.以上四个结论中,结论正确的序号是　　　　　. 

答案①②③④

6.如图,平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,且α与平面A1B1C1D1的交线为l,则l与B1D1的位置关系是　　　　,平面α与平面CB1D1的位置关系是　　　　　. 

答案平行　平行

7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M满足　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1. 

解析连接FH,FN(图略),∵F,H分别是棱C1D1,CD的中点,∴FH∥DD1.

∵FH⊄平面B1BDD1,DD1⊂平面B1BDD1,

∴FH∥平面B1BDD1.同理,HN∥平面B1BDD1.

又FH∩HN=H,∴平面FHN∥平面B1BDD1,

又平面FHN∩平面EFGH=FH,

∴当M∈FH时,MN⊂平面FHN,

∴MN∥平面B1BDD1.

答案点M在FH上

8.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D1是B1C1的中点,D是BC的中点.求证:平面A1BD1∥平面AC1D.

证明如图,连接A1C交AC1于点E,连接ED.

∵四边形A1ACC1是平行四边形,∴E是A1C的中点.

又D是BC的中点,

∴ED∥A1B.

又ED⊄平面A1BD1,A1B⊂平面A1BD1,

∴ED∥平面A1BD1.

∵C1D1BD,∴四边形BDC1D1是平行四边形,

∴C1D∥BD1.

又C1D⊄平面A1BD1,BD1⊂平面A1BD1,

∴C1D∥平面A1BD1.

又C1D∩ED=D,∴平面A1BD1∥平面AC1D.

9.如图,平面α∥β,直线AB分别交α,β于点M,N,直线AD分别交α,β于点C,D,直线BF分别交α,β于点F,E.若AM=9,MN=11,NB=15,S△FMC=78.求△END的面积.

解因为平面α∥β,平面AND∩平面α=MC,平面AND∩平面β=ND,所以MC∥ND.

同理EN∥FM.又∠FMC与∠END的两边方向相同,所以∠FMC=∠END.

又AM=9,MN=11,NB=15,

所以.

又∠FMC=∠END,

所以.

又S△FMC=78,所以S△END=100.

故△END的面积为100.

10.如图,两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN,求证:MN∥平面BCE.

证明如图,过点M作MG∥BC,交AB于点G,连接GN,

则.

∵AM=FN,AC=BF,

∴MC=NB.

∴,∴GN∥AF.

又AF∥BE,∴GN∥BE.

又MG,GN⊄平面BCE,BC,BE⊂平面BCE,

∴MG∥平面BCE,GN∥平面BCE.

又MG∩GN=G,

∴平面MNG∥平面BCE.

又MN⊂平面MNG,

∴MN∥平面BCE.