数学人教A版 (2019)8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系课后练习题

8.6.1　直线与直线垂直

课后·训练提升

1.已知一正方体的平面展开图如图所示,则在这个正方体中,CN,BM所在直线所成的角为(　　)

A.30° B.45° C.60° D.90°

解析将平面展开图还原为正方体,如图,连接AN,AC,则AN∥BM,

故∠ANC为CN,BM所在直线所成的角.

又△ANC为等边三角形,故∠ANC=60°,

即CN,BM所在直线所成的角为60°.

答案C

2.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AC1,BC1的中点,则以下结论不成立的是(　　)

A.EF与BB1垂直

B.EF与BD所成的角为45°

C.EF与CD异面

D.EF与A1C1异面

解析显然EF∥AB,∵BB1⊥AB,

∴EF⊥BB1,故A正确.

∵EF∥AB,∴∠ABD为EF与BD所成的角,又∠ABD=45°,

∴EF与BD所成的角为45°,故B正确.

EF∥AB∥CD,故C错误.

EF与A1C1异面,故D正确.

答案C

3.如图,正四棱锥P-ABCD的所有棱长均相等,E为PC的中点,则异面直线BE与PA所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.-

解析如图,连接AC,BD相交于点O,连接OE,

则O为AC的中点.因为E为PC的中点,所以OE∥PA,OE=PA,所以∠OEB为异面直线BE与PA所成的角.

不妨设正四棱锥的棱长为1,

则OE=PA=,OB=BD=,BE=,

故cos∠OEB=,即异面直线BE与PA所成角的余弦值为.

答案A

4.如图,圆柱的轴截面ABCD为正方形,E为的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为(　　)

A. B.

C. D.

解析如图,取BC的中点H,连接EH,AH,则∠EHA=90°,

不妨设AB=2,则BH=HE=1,AH=,所以AE=.

连接ED,则ED=.

因为BC∥AD,

所以∠EAD为异面直线AE与BC所成的角.

在△EAD中,cos∠EAD=.

答案C

5.如图,在四面体A-BCD中,AC=BD=2,AC与BD所成的角为60°,M,N分别为AB,CD的中点,则线段MN的长为(　　)

A.1 B.1或

C. D.1或

解析如图,取BC的中点E,连接EN,EM.

因为M为AB的中点,

所以ME∥AC,ME=AC=1,

同理,EN∥BD,EN=1.

所以∠MEN或其补角为异面直线AC与BD所成的角,所以∠MEN=60°或∠MEN=120°.

当∠MEN=60°时,因为ME=EN=1,

所以△MEN为等边三角形,所以MN=1.

当∠MEN=120°时,MN=.

答案D

6.如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=3,E,F分别为AD,BC上的点,且,EF=,则AB与CD所成角的大小为　　　　　,EF与AB所成角的正弦值为　　　　　. 

答案90°　

7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,棱AA1=2,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与BC1所成角的大小为　　　　　. 

解析如图,取BC的中点F,连接EF,AF,则EF∥BC1,所以∠AEF(或其补角)为异面直线AE与BC1所成的角,

因为AE==3,

EF=,AF=

,所以cos∠AEF=.

所以∠AEF=45°,

即异面直线AE与BC1所成角的大小为45°.

答案45°

8.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点,求证:DB1⊥EF.

证明(方法一)如图①,连接A1C1,B1D1相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G,则OG∥B1D,EF∥A1C1,

①

故∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.

在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为GA1=GC1,O为A1C1的中点,所以GO⊥A1C1,即∠GOA1=90°.

所以异面直线DB1与EF所成的角为90°,

所以DB1⊥EF.

②

(方法二)如图②,连接A1D,取A1D的中点H,连接HE,HF,则HE∥DB1,HE=DB1.

于是∠HEF为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.

不妨设AA1=1,则EF=,HE=.

取A1D1的中点I,连接IF,IH,则HI⊥IF,

所以HF2=HI2+IF2=,所以HF2=EF2+HE2,即∠HEF=90°,所以异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF.

③

(方法三)如图③,在原正方体的右侧补上一个全等的正方体,连接DQ,B1Q,则B1Q∥EF.

于是∠DB1Q为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.

不妨设AA1=1,则DQ=,B1D=,B1Q=,所以B1D2+B1Q2=DQ2,所以∠DB1Q=90°,即异面直线DB1与EF所成的角为90°,所以DB1⊥EF.

9.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,A1B⊥AD1,求AA1的值.

解如图,连接CD1,AC,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,因为A1D1∥BC,A1D1=BC,

所以四边形A1BCD1为平行四边形,所以A1B∥CD1,所以∠AD1C(或其补角)为A1B与AD1所成的角.

又A1B⊥AD1,所以异面直线A1B与AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.

由题意可知,四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直四棱柱,又AB=BC,所以△ACD1为等腰直角三角形,

所以AD1=AC.

因为AB=BC=2,∠ABC=120°,

所以AC=2×sin 60°×2=6,

所以AD1=AC=3,

所以AA1=.

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.

(1)求证:AD1∥平面DOC1.

(2)求异面直线AD1和OC1所成角的大小.

(1)证明如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1.

因为O,O1分别为AC,D1C的中点,所以OO1∥AD1.

又OO1⊂平面DOC1,AD1⊄平面DOC1,

所以AD1∥平面DOC1.

(2)解由(1)知,OO1∥AD1,所以∠O1OC1为异面直线AD1和OC1所成的角,

不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,

则O1C1=OO1=,OC1=,

所以cos∠O1OC1=,

所以∠O1OC1=,

即异面直线AD1和OC1所成角的大小为.