2021学年6.4 平面向量的应用第1课时随堂练习题

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8.6.2　直线与平面垂直第1课时　直线与平面垂直的判定定理课后·训练提升基础巩固1.若两条不同的直线与同一平面所成的角相等,则这两条直线(　　)A.平行 B.相交C.异面 D.以上都有可能答案D2.如图,AB是圆O的直径,C是圆周上不同于点A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,则四面体P-ABC的四个面中,直角三角形的个数为(　　)A.4 B.3C.2 D.1解析因为AB是圆O的直径,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC,所以△ABC是直角三角形.因为PA⊥平面ABC,所以△PAC,△PAB都是直角三角形,PA⊥BC.又PA∩AC=A,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PBC是直角三角形.故选A.答案A3.在三棱锥S-ABC中,SA=SB=SC,则点S在平面ABC上的射影一定在(　　)A.BC边的中线上  B.BC边的高线上C.BC边的垂直平分线上 D.∠BAC的平分线上解析如图,设点S在平面ABC上的射影为点O,连接OA,OB,OC,则SO⊥平面ABC.因为SA=SB=SC,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心,所以点S在平面ABC上的射影一定在BC边的垂直平分线上.答案C4.如图①,在正方形ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,G为EF的中点,现在沿AE,AF及EF,把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H,如图②,则下列结论正确的是(　　)A.AH⊥平面EFH B.AG⊥平面EFHC.HF⊥平面AEF D.HG⊥平面AEF解析依题意,AH⊥HF,AH⊥HE,所以AH⊥平面EFH.答案A5.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,下列能使A1C⊥BC1的是(　　)A.AB=ACB.AA1=ACC.BB1=ABD.CC1=BC解析在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,即AB⊥AC,AA1⊥AB,AA1∩AC=A,所以AB⊥平面AA1C1C.又A1C⊂平面AA1C1C,所以AB⊥A1C.连接AC1,如图,若AA1=AC,则矩形AA1C1C为正方形,所以A1C⊥AC1.又AB∩AC1=A,所以A1C⊥平面ABC1.又BC1⊂平面ABC1,所以A1C⊥BC1.答案B6.在三棱锥P-ABC中,点O是点P在底面ABC内的射影.若点P满足以下两种情形:①点P到△ABC三边的距离相等;②PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等.则点O分别是△ABC的(　　)A.重心,垂心 B.内心,外心C.内心,垂心 D.垂心,外心解析若点P到△ABC三边的距离相等,则点O到△ABC三边的距离相等,故点O是△ABC的内心;若PA,PB,PC与底面ABC所成的角相等,则点O到点A,B,C的距离相等,故点O是△ABC的外心.答案B7.已知等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内,若AC与α所成的角为30°,则斜边上的中线CM与α所成的角为　　　　　. 解析如图,设点C在平面α内的射影为点O,连接AO,MO,则∠CAO=30°,∠CMO为CM与α所成的角.不妨设AC=BC=1,则AB=,所以CM=,CO=,所以sin∠CMO=,所以∠CMO=45°.所以CM与α所成的角为45°.答案45°8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别为AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,AP=AB=CD,AE=DE,∴PE=CE,又F为PC的中点,∴EF⊥PC.又BP==2=BC,F为PC的中点,∴BF⊥PC.又BF∩EF=F,∴PC⊥平面BEF.9.如图,AB为圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,M为圆周上不同于点A,B的任意一点,AN⊥PM,N为垂足.(1)求证:AN⊥平面PBM;(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.证明(1)∵AB为圆O的直径,∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM,∴PA⊥BM.又PA∩AM=A,∴BM⊥平面PAM.又AN⊂平面PAM,∴BM⊥AN.又AN⊥PM,BM∩PM=M,∴AN⊥平面PBM.(2)由(1)知AN⊥平面PBM,PB⊂平面PBM,∴AN⊥PB.又AQ⊥PB,AN∩AQ=A,∴PB⊥平面ANQ.又NQ⊂平面ANQ,∴NQ⊥PB.10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面是边长为1的菱形,∠ADC=60°,PA=,M是PB的中点.(1)求证:PD∥平面ACM.(2)求直线CM与平面PAB所成角的正弦值.(1)证明如图,连接BD,交AC于点O,连接OM.因为底面ABCD是菱形,所以O是BD的中点.又M是PB的中点,所以OM∥PD.又OM⊂平面ACM,PD⊄平面ACM,所以PD∥平面ACM.(2)解如图,取AB的中点E,连接ME,CE,由题意可知,△ACB是等边三角形,所以CE⊥AB.因为M是PB的中点,E是AB的中点,所以ME∥PA,ME=PA.又PA⊥平面ABCD,所以ME⊥平面ABCD,所以ME⊥CE.又AB∩ME=E,所以CE⊥平面PAB,所以∠CME是直线CM与平面PAB所成的角.因为ME=PA=,CE=,所以CM=,所以sin∠CME=.能力提升1.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,则下列结论不正确的是(　　)A.CD∥平面PAFB.DF⊥平面PAFC.CF∥平面PABD.CF⊥平面PAD解析在正六边形ABCDEF中,易知CD∥AF,DF⊥AF,CF∥AB,由线面平行的判定定理,可知CD∥平面PAF,CF∥平面PAB,故A,C正确.因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥DF,又DF⊥AF,PA∩AF=A,所以DF⊥平面 PAF,故B正确.易知CF与AD不垂直,故D错误.故选D.答案D2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,正方形ABCD的面积为16,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(　　)A.64 B.64C.48 D.64解析因为正方形ABCD的面积为16,所以AB=BC=4.如图,连接BC1,因为AB⊥平面BB1C1C,所以∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角,所以∠AC1B=30°,所以BC1=4,所以CC1==4.所以该长方体的体积V=16×4=64.答案B3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总保持AP⊥BD1,则动点P一定(　　)A.在线段B1C上B.在线段BC1上C.在BB1的中点与CC1的中点连成的线段上D.在BC的中点与B1C1的中点连成的线段上解析如图,易知BD1⊥平面AB1C,故点P一定位于B1C上.答案A4.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是侧面AA1D1D与底面ABCD的中心,则下列说法:①DF∥平面D1EB1;②异面直线DF与B1C所成的角为60°;③ED1与平面B1DC垂直;④.其中错误的个数为(　　)A.0 B.1 C.2 D.3解析如图.对于①,因为DF∥B1D1,DF⊄平面D1EB1,B1D1⊂平面D1EB1,所以DF∥平面D1EB1,所以①正确;对于②,因为DF∥B1D1,所以∠CB1D1(或其补角)是异面直线DF与B1C所成的角,因为△B1D1C是正三角形,所以∠CB1D1=60°,所以②正确;对于③,因为ED1⊥A1D,ED1⊥CD,A1D∩CD=D,所以ED1⊥平面A1B1CD,即ED1⊥平面B1DC,所以③正确;对于④,×S△CDF×1=×1××1=,所以④正确.故选A.答案A5.已知P为△ABC所在平面外的一点,且PA,PB,PC两两垂直,则下列结论错误的是(　　)A.PA⊥BCB.PB⊥ACC.点P在平面ABC上的射影为△ABC的垂心D.点P在平面ABC上的射影为△ABC的外心解析因为PA,PB,PC两两垂直,所以PA⊥平面PBC,所以PA⊥BC,故A正确;同理,B正确;设点P在平面ABC上的射影为点O,因为PA⊥BC,PO⊥BC,所以BC⊥平面PAO,所以OA⊥BC,同理,OB⊥AC,所以点O为△ABC的垂心,故C正确,D错误.答案D6.已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为　　　　　. 解析如图,作PD,PE分别垂直于AC,BC,PO⊥平面ABC.连接CO,OD,知CD⊥PD,CD⊥PO,PD∩PO=P,∴CD⊥平面PDO,OD⊂平面PDO,∴CD⊥OD.∵PD=PE=,PC=2,∴sin∠PCE=sin∠PCD=,∴∠PCB=∠PCA=60°.∴PO⊥CO,CO为∠ACB平分线,∴∠OCD=45°,∴OD=CD=1,OC=.又PC=2,∴PO=.答案7.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,且PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.证明(1)因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD.又AC⊥CD,PA∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.又AE⊂平面PAC,所以CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.因为E是PC的中点,所以AE⊥PC.由(1)知AE⊥CD,且PC∩CD=C,所以AE⊥平面PCD.又PD⊂平面PCD,所以AE⊥PD.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.又AB⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD,又PD⊂平面PAD,所以AB⊥PD.又AE∩AB=A,所以PD⊥平面ABE.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠ADC=45°,AD=AC=1,O为AC的中点,PO⊥平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)求证:PB∥平面ACM;(2)求证:AD⊥平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.(1)证明如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,∵O为AC的中点,∴O为BD的中点,又M为PD的中点,∴PB∥MO.又PB⊄平面ACM,MO⊂平面ACM,∴PB∥平面ACM.(2)证明∵∠ADC=45°,AD=AC=1,∴∠DAC=90°,即AD⊥AC.又PO⊥平面ABCD,AD⊂平面ABCD,∴PO⊥AD.又AC∩PO=O,∴AD⊥平面PAC.(3)解如图,取DO的中点N,连接MN,AN.∵M为PD的中点,∴MN∥PO,MN=PO=1.又PO⊥平面ABCD,∴MN⊥平面ABCD,∴∠MAN为直线AM与平面ABCD所成的角.在Rt△DAO中,AD=1,AO=,∴DO=,∴AN=DO=.在Rt△ANM中,tan∠MAN=.故直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.