高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.2 集合间的基本关系同步测试题

1.2　集合间的基本关系

课后训练巩固提升

A组

1.已知集合A={x|x2-1=0},则下列式子表示正确的有 (　　)

①{1}∈A;②-1⊆A;③⌀⊆A;④{1,-1}⊆A.

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:A={x|x2-1=0}={-1,1},则{1}⊆A,-1∈A,故①②不正确;

⌀⊆A,{1,-1}⊆A,符合子集的定义,所以③④正确.故选B.

答案:B

2.下列命题:①任何集合至少有两个子集;

②空集是任何集合的真子集;

③若⌀⫋A,则A≠⌀.其中正确的有(　　)

A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

解析:①错,如⌀只有一个子集;②错,空集不是空集的真子集;③正确,因为空集是任何非空集合的真子集.故选B.

答案:B

3.已知集合A⊆{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,则这样的集合A的个数为(　　)

A.6 B.5 C.4 D.3

解析:因为集合A⊆{0,1,2},且集合A中至少含有一个偶数,所以满足条件的集合A可以为:{0},{2},{0,1},{1,2},{0,2},{0,1,2},共6个,故选A.

答案:A

4.设M={菱形},N={平行四边形},P={四边形},Q={正方形},则这些集合之间的关系为(　　)

A.P⊆N⊆M⊆Q B.Q⊆M⊆N⊆P

C.P⊆M⊆N⊆Q D.Q⊆N⊆M⊆P

解析:结合菱形、平行四边形、四边形及正方形的概念可知Q⊆M⊆N⊆P.

答案:B

5.设集合M={x|(x-3)(x+1)<0,x∈Z},则集合M的真子集个数为(　　)

A.8 B.7 C.4 D.3

解析:因为集合M={x|(x-3)(x+1)<0,x∈Z}={x|-1<x<3,x∈Z}={0,1,2},所以集合M的真子集个数为23-1=7个.故选B.

答案:B

6.下列各式中,正确的是　　　　　.(填序号) 

①{0}∈{0,1,2};②{0,1,2}⊆{2,1,0};③⌀⊆{0,1,2};④{(a,b)}={(b,a)}.

解析:对于①,是集合与集合的关系,应为{0}⫋{0,1,2};对于②,实际为同一集合,任何一个集合是它本身的子集;对于③,空集是任何集合的子集;对于④,(a,b)与(b,a)不一定表示同一个点,故{(a,b)}与{(b,a)}不一定相等.所以②③正确.

答案:②③

7.已知集合M={-1,0,1},N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b},则能表示集合M与集合N的关系的Venn图是　　　　　. 

解析:∵M={-1,0,1},

∴N={x|x=ab,a,b∈M,且a≠b}={0,-1},

∴N⫋M,Venn图是②.

答案:②

8.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2},若B⊆A,则实数m=　　　　　. 

解析:集合A,B中均含有元素3,由B⊆A得B中另一元素m2一定与A中元素-1,2m-1中的一个相等,故m2=2m-1,得m=1.

答案:1

9.判断下列集合间的关系:

(1)A={x|x-3>2},B={x|2x-4≥0};

(2)A={x∈Z|-1≤x<3},B={x|x=|y|,y∈A}.

解:(1)A={x|x-3>2}={x|x>5},B={x|2x-4≥0}={x|x≥2},利用数轴,可得A⫋B.

(2)因为A={x∈Z|-1≤x<3}={-1,0,1,2},B={x|x=|y|,y∈A}={0,1,2},所以B⫋A.

10.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}.

(1)若A⫋B,求a的取值范围;

(2)若B⊆A,求a的取值范围.

解:(1)若A⫋B,由图可知,a>2.

(2)若B⊆A,由图可知1≤a≤2.

B组

1.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为(　　)

A.A⫋B B.A⫌B C.A=B D.A⊆B

解析:∵B=={(x,y)|y=x,且x≠0},∴B⫋A.

答案:B

2.已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:由题意知A={1,2},B={1,2,3,4}.

又A⊆C⊆B,则集合C可能为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.

答案:D

3.定义集合运算A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},若A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A◇B的子集个数为(　　)

A.32 B.31 C.30 D.14

解析:∵A={0,1,2},B={3,4,5},

又A◇B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},

∴A◇B={3,4,5,6,7}.

∵集合A◇B中共有5个元素,

∴集合A◇B的所有子集的个数为25=32.故选A.

答案:A

4.已知集合A={x|a-1≤x≤a+2},B={x|3<x<5},则能使A⊇B成立的实数a的取值集合是(　　)

A.{a|3<a≤4} B.{a|3≤a≤4}

C.{a|3<a<4} D.⌀

解析:∵A⊇B,∴解得3≤a≤4.

经检验知当a=3或a=4时符合题意,故3≤a≤4.

答案:B

5.若集合A=,B={(x,y)|y=ax2+1},且A⊆B,则a=　　　　　. 

解析:A=={(2,-1)}.

∵A⊆B,∴-1=a×22+1,∴a=-.

答案:-

6.若集合A={x|ax2+ax+1=0}的子集只有两个,则实数a=　　　　　. 

解析:∵集合A的子集只有两个,

∴A中只有一个元素,即方程ax2+ax+1=0只有一个根.

当a=0时方程无解.

当a≠0时,Δ=a2-4a=0,解得a=4.故a=4.

答案:4

7.已知集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b的值.

解:∵A=B,且1∈A,∴1∈B.

若a=1,则a2=1,这与集合中元素的互异性矛盾,

∴a≠1.

若a2=1,则a=-1或a=1(舍去).

∴A={1,-1,b},∴b=ab=-b,即b=0.

若ab=1,则a2=b,得a3=1,即a=1(舍去).

故a=-1,b=0.

8.设集合A={x|-1≤x≤6},B={x|m-1≤x≤2m+1}.

(1)当x∈N时,求集合A的子集的个数;

(2)若B⊆A,求实数m的取值范围.

解:(1)因为当x∈N时,A={0,1,2,3,4,5,6},所以集合A的子集的个数为27=128.

(2)当m-1>2m+1,即m<-2时,B=⌀,符合题意;

当m-1≤2m+1,即m≥-2时,B≠⌀.

由B⊆A,借助数轴,如图所示,

得解得0≤m≤.

所以0≤m≤.

综上可知,实数m的取值范围为

.