人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念同步练习题

1.4.1　充分条件与必要条件

课后训练巩固提升

A组

1.下列语句不是命题的是(　　)

A.3是15的约数 B.x2+2x+1≥0

C.4不小于2 D.你准备考北京大学吗?

答案:D

2.若p是q的充分条件,则q是p的(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.既是充分条件又是必要条件

答案:B

3.如果“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是(　　)

A.x>3 B.x>1 C.x>0 D.x>-1

解析:大于2的实数不一定大于3,故选A.

答案:A

4.“x>0”是“x≠0”的(　　)

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件又是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

解析:“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立.

答案:A

5.设p:-1≤x<2,q:x<a,若q是p的必要条件,则a的取值范围是(　　)

A.a≤-1 B.a≤-1或a≥2

C.a≥2 D.-1≤a<2

解析:因为q是p的必要条件,所以p⇒q,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a≥2.

答案:C

6.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的　　　　　条件,“x∈B”是“x∈A”的　　　　　条件. 

解析:因为A⊆B,由子集的定义知x∈A⇒x∈B,故“x∈A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件.

答案:充分　必要

7.已知“若q,则p”为真命题,则p是q的　　　　　条件. 

解析:因为“若q,则p”为真命题,

所以q⇒p,即p是q的必要条件.

答案:必要

8.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是　　　　　. 

答案:a≤1

9.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假.

(1)末位数字是0或5的整数,能被5整除;

(2)方程x2-x+1=0有两个实数根;

(3)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.

解:(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个整数能被5整除.是真命题.

(2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.是假命题.

(3)若一个多边形是正n边形(n≥3),则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.

10.试判断下列各题中,p是q的什么条件.

(1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;

(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根;

(3)p:a>b,q:a>b+1.

解:(1)因为x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p是q的充分条件,不是必要条件.

(2)因为x2-x-m=0无实根时,

Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0,

即m<-,所以q:m<-.

所以p⇒q,qp,

即p是q的充分条件,不是必要条件.

(3)因为a>b+1⇒a>b,而a>ba>b+1,所以p是q的必要条件,不是充分条件.

B组

1.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为(　　)

①M中的元素都不是P的元素;

②M中有不属于P的元素;

③M中有属于P的元素;

④M中的元素不都是P的元素.

A.1 B.2 C.3 D.4

解析:因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,所以M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B.

答案:B

2.二次函数y=x2+mx+1的图象在x>1上随x的增大而增大的一个充分条件是(　　)

A.m=-3 B.m=-2 C.m=-4 D.m=-5

解析:选项A,当m=-3时,y=x2-3x+1=x-2-在x>上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增大;

选项B,当m=-2时,y=x2-2x+1=(x-1)2在x>1上随x的增大而增大;

选项C,当m=-4时,y=x2-4x+1=(x-2)2-3在x>2上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增大;

选项D,当m=-5时,y=x2-5x+1=在x>上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增大.故选B.

答案:B

3.若“x>1或x<-2”是“x<a”的必要条件,则a的最大值是(　　)

A.2 B.-2 C.-1 D.1

解析:∵“x>1或x<-2”是“x<a”的必要不充分条件,

∴x<a⇒x>1或x<-2,

但x>1或x<-2x<a.

如图所示,

∴a≤-2,∴a的最大值为-2.

答案:B

4.“|x|<3”是“x<3”的　　　　　条件. 

解析:由|x|<3,解得-3<x<3,由-3<x<3⇒x<3,但由x<3-3<x<3,

故“|x|<3”是“x<3”的充分条件.

答案:充分

5.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m<x<2m-1},若p是q的充分条件,则实数m的取值范围是　　　　　. 

解析:因为p是q的充分条件,所以A⊆B,如图,

则解得m>3.

综上,m的取值范围为m>3.

答案:m>3

6.若不等式-1<x-a<1成立的充分条件是<x<,求实数a的取值范围.

解:由-1<x-a<1,知a-1<x<a+1.

记A=,B={x|a-1<x<a+1},

由已知A⊆B,得解得≤a≤.

综上,实数a的取值范围为≤a≤.

7.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值.

解:p:x∈{x|x2+x-6=0}={2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件但不是充分条件,所以{x|mx+1=0}⫋{2,-3}.

当{x|mx+1=0}=⌀,即m=0时,符合题意;

当{x|mx+1=0}≠⌀时,由{x|mx+1=0}⫋{2,-3},得-=2或-=-3,解得m=-或m=.

综上可知,m=0或-.