2021学年2.2 基本不等式第1课时课后测评

第1课时　基本不等式

课后训练巩固提升

1.下列不等式的证明过程正确的是(　　)

A.若a,b∈R,则≥2=2

B.若x>0,则x-1+≥2=2

C.若x<0,则x+≤2=4

D.若a,b∈R,且ab<0,则=-≤-2=-2

答案:D

2.已知a>0,b>0,则中最小的是(　　)

A. B. C. D.

解析:(方法一)特殊值法.

令a=4,b=2,则=3,.

故最小.

(方法二),由,可知最小.

答案:D

3.已知m=a+(a>2),n=(2-x)(2+x)(-2<x<2),则m,n之间的大小关系是(　　)

A.m>n B.m≥n C.m=n D.m≤n

解析:∵m=(a-2)++2≥2+2=4,

n=(2-x)(2+x)≤=4,

∴m≥n.

答案:B

4.已知x>0,y>0,且x+y=10,则xy有(　　)

A.最大值25 B.最大值50 C.最小值25 D.最小值50

解析:∵x>0,y>0,x+y=10,

∴x+y≥2,

∴xy≤=25,当且仅当x=y=5时取“=”,

∴xy有最大值25.

答案:A

5.已知a>0,b>0,则+2的最小值是(　　)

A.2 B.2 C.4 D.5

解析:+2+2≥2=4,

当且仅当时,取“=”,即a=b=1时,原式取得最小值4.

答案:C

6.若x>0,y>0,且xy=10,则的最小值为　　　　　. 

解析:∵x>0,y>0,且xy=10,

∴y=,

∴≥2,

当且仅当x=2,y=5时,取等号.

答案:2

7.若x>0,y>0,且x+4y=20,则xy的最大值是　　　　　. 

解析:∵20=x+4y≥2=4,

∴≤5⇒xy≤25.

等号成立的条件是x=4y=10,即x=10,y=.

∴xy的最大值是25.

答案:25

8.已知a>3,则的最小值为　　　　　. 

解析:∵a>3,∴a-3>0,

∴≥2=1,

当且仅当,即a=11时,取等号.

答案:1

9.已知a,b,c都是正数,求证:(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc.

证明:∵a,b,c都是正数,∴a+b≥2>0,b+c≥2>0,c+a≥2>0,

∴(a+b)(b+c)(c+a)≥2·2·2=8abc,即(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc,当且仅当a=b=c时等号成立.

10.已知a,b,c都是实数,求证:a2+b2+c2≥.

证明:a2+b2≥2ab,①

b2+c2≥2bc,②

c2+a2≥2ac,③

a2+b2+c2=a2+b2+c2,④

由①+②+③+④,得3(a2+b2+c2)≥a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,

即a2+b2+c2≥.