高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第2课时复习练习题

第2课时　基本不等式的实际应用

课后训练巩固提升

A组

1.当x<0时,y=+4x的最大值为(　　)

A.-4 B.-8 C.-8 D.-16

解析:∵x<0,∴-x>0,

∴y=-≤-2=-8.

答案:C

2.函数y=的最大值为(　　)

A. B. C. D.1

解析:当x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2>0,则y≤,当且仅当x=1时,等号成立.

故函数y=的最大值为.

答案:B

3.当a>0时,关于代数式,下列说法正确的是(　　)

A.有最大值无最小值 B.有最小值无最大值

C.有最小值也有最大值 D.无最小值也无最大值

解析:∵a>0,

∴=1,当且仅当a=,即a=1时,取等号,故a>0,代数式有最大值1,没有最小值.

答案:A

4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y(单位:万元)与营运年数x的函数关系为y=-(x-6)2+11(x∈N*),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为(　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:由题意可知,=-+12≤-2+12,当且仅当x=时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.

答案:C

5.若对x>0,y>0,有(x+2y)≥m恒成立,则m的取值范围是(　　)

A.m≤8 B.m>8 C.m<0 D.m≤4

解析:∵(x+2y)=2++2≥4+2=8,∴m≤8.

答案:A

6.若函数y=x+(x>2)在x=a处取最小值,则a=　　　　　. 

解析:y=x+=x-2++2.

∵x>2,∴x-2>0.

∴y=x-2++2≥2+2=4,

当且仅当x-2=,即x=3时,“=”成立.

又y在x=a处取最小值,∴a=3.

答案:3

7.已知a>0,b>0,=2,则a+2b的最小值为　　　　　. 

解析:∵a>0,b>0,=2,

∴a+2b=(a+2b)5+≥(5+4)=,当且仅当,且=2,即a=b=时,取等号,∴a+2b的最小值为.

答案:

8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上　　　　　和　　　　　. 

解析:设两数为x,y,即4x+9y=60,

=×(13+12)=,

当且仅当,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.

答案:6　4

9.(1)求函数y=+4x的最小值;

(2)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;

(3)已知x>0,y>0,且=1,求x+y的最小值.

解:(1)∵x>,4x-5>0,

∴y=+4x=+(4x-5)+5≥7,

当且仅当4x-5=,即x=时,取等号.

∴y的最小值为7.

(2)∵x>0,a>2x,

∴y=x(a-2x)=·2x·(a-2x)≤,

当且仅当x=时取等号,∴y的最大值为.

(3)方法一:∵=1,

∴x+y=(x+y)=10+.

∵x>0,y>0,∴≥2=6.

当且仅当,即y=3x时,取等号.

又=1,∴x=4,y=12.

∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.

方法二:由=1,得x=.

∵x>0,y>0,∴y>9.

x+y=+y=y+=y++1=(y-9)++10.

∵y>9,∴y-9>0,

∴y-9++10≥2+10=16,

当且仅当y-9=,即y=12时,取等号.

又=1,∴x=4.

∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.

10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).

(1)若设休闲区的长和宽的比=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式;

(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?

解:(1)设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=.

则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160

=80+4160(x>1).

(2)80+4160≥80×2+4160

=1600+4160=5760.

当且仅当2,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.

所以要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1应设计为长100米,宽40米.

B组

1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　)

A. B.≤1 C.≥2 D.a2+b2≥8

解析:4=a+b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),即≤2,ab≤4,故,选项A,C不成立;

≥1,选项B不成立;

a2+b2=(a+b)2-2ab=16-2ab≥8,选项D成立.

答案:D

2.已知x,y>0,x+y=1,若4xy<t恒成立,则实数t的取值范围是(　　)

A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2

解析:由基本不等式,得4xy≤4·=1,当且仅当x=y=时,等号成立,所以4xy的最大值为1,则t>1.

因此实数t的取值范围是t>1.

答案:A

3.若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是(　　)

A. B. C.5 D.6

解析:由x+3y=5xy可得=1,所以3x+4y=(3x+4y)+2=5,当且仅当x=1,y=时,取等号.

故3x+4y的最小值是5.

答案:C

4.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是(　　)

A.1 B.3 C.6 D.12

解析:∵x2+2xy-3=0,∴y=,

∴2x+y=2x+≥2=3.

当且仅当,即x=1时,取等号.

答案:B

5.函数y=(x>-1)的图象的最低点坐标是　　　　　. 

解析:由题意得,y==(x+1)+≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐标为(0,2).

答案:(0,2)

6.设a>1,b>0,若a+b=2,则的最小值为　　　　　. 

解析:由a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0,

则[(a-1)+b]=3+≥3+2=3+2,

当且仅当,且a+b=2,即a=3-,b=-1时取得最小值3+2.

答案:3+2

7.已知正常数a,b和正变数x,y满足a+b=10,=1,x+y的最小值是18,求a,b的值.

解:∵x+y=(x+y)=a+b+≥a+b+2=()2,∴()2=18.

又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.

8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q(单位:万件)与广告费x(单位:万元)之间的函数关系为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.

(1)试将年利润W(单位:万元)表示为年广告费x(单位:万元)的函数;

(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?

解:(1)由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为×150%+×50%,

所以年销售收入为

·Q=(32Q+3)+x.

所以年利润

W=(32Q+3)+x-(32Q+3)-x=(32Q+3-x)=(x≥0).

(2)令x+1=t(t≥1),则W==50-.

因为t≥1,所以≥2=8,即W≤42,当且仅当,即t=8时,W有最大值42,此时x=7.

故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.