人教A版 (2019)必修 第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式第2课时同步训练题

第2课时　一元二次不等式的实际应用

课后训练巩固提升

A组

1.已知不等式ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为R,则(　　)

A.a<0,Δ>0 B.a<0,Δ<0

C.a>0,Δ<0 D.a>0,Δ>0

解析:由题意知,二次函数y=ax2+bx+c的图象均在x轴下方,故a<0,Δ<0.

答案:B

2.若不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是(　　)

A.{a|-4≤a≤4} B.{a|-4<a<4}

C.{a|a≤-4,或a≥4} D.{a|a<-4,或a>4}

解析:由题意,需满足Δ=a2-16≤0,即-4≤a≤4.

答案:A

3.已知不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则有(　　)

A.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1

B.a>0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1

C.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为-2,1

D.a<0,且函数y=ax2-x-c的零点为2,-1

解析:由y=ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},结合f(x)的图象知a<0,且-2,1是函数y的两个零点.

答案:C

4.已知不等式2x2+mx+n>0的解集是{x|x>3,或x<-2},则二次函数y=2x2+mx+n的解析式是(　　)

A.y=2x2+2x+12 B.y=2x2-2x+12

C.y=2x2+2x-12 D.y=2x2-2x-12

解析:由题意知-2和3是对应方程的两个根,由根与系数的关系,得-2+3=-,-2×3=,解得m=-2,n=-12.

因此二次函数的解析式是y=2x2-2x-12.

答案:D

5.若集合A={x|ax2-ax+1<0}=⌀,则实数a的集合为 (　　)

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4}

C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

解析:当a=0时,有1<0,故A=⌀;

当a≠0时,若A=⌀,

则有⇒0<a≤4.

综上所述,a∈{a|0≤a≤4}.

答案:D

6.若关于x的不等式(x+1)(x-3)<m的解集为{x|0<x<n},则实数n的值为　　　　　. 

解析:由题意可知,0和n是关于x的方程(x+1)(x-3)=m的两个实数根,即方程x2-2x-3-m=0的两根,由根与系数的关系可得0+n=2,解得n=2.

答案:2

7.若关于x的不等式组有解,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:不等式组可化为由题意可知a2+1<2a+4,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.

答案:{a|-1<a<3}

8.若式子(k为常数)在实数集R上恒有意义,则k的取值范围是　　　　　. 

解析:式子在实数集R上恒有意义,即kx2-6kx+(k+8)≥0对一切x∈R恒成立.

当k=0时,显然8>0恒成立;

当k≠0时,k满足

即解得0<k≤1.

所以k的取值范围是{k|0≤k≤1}.

答案:{k|0≤k≤1}

9.已知不等式x2-2x-3<0的解集为A,不等式x2+4x-5<0的解集为B.

(1)求A∪B;

(2)若不等式x2+ax+b<0的解集是A∪B,求ax2+x+b<0的解集.

解:(1)解不等式x2-2x-3<0,得A={x|-1<x<3}.

解不等式x2+4x-5<0,得B={x|-5<x<1}.

故A∪B={x|-5<x<3}.

(2)由x2+ax+b<0的解集为{x|-5<x<3},

得解得

即2x2+x-15<0,

故不等式的解集为.

10.设函数y=x2-ax+b.

(1)若不等式y<0的解集是{x|2<x<3},求不等式bx2-ax+1>0的解集;

(2)当b=3-a时,y≥0恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)因为不等式x2-ax+b<0的解集是{x|2<x<3},所以x=2,x=3是方程x2-ax+b=0的解,由根与系数的关系,得a=5,b=6,故不等式bx2-ax+1>0为6x2-5x+1>0.

解不等式6x2-5x+1>0得其解集为x或x>.

(2)根据题意,y=x2-ax+3-a≥0恒成立,

则Δ=a2-4(3-a)≤0,解得-6≤a≤2.

所以实数a的取值范围为{a|-6≤a≤2}.

B组

1.已知不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-1<x<2},则不等式2x2+bx+a<0的解集为(　　)

A. B.

C.{x|-2<x<1} D.{x|x<-2,或x>1}

解析:由题意得解得故不等式为2x2+x-1<0,其解集为.

答案:A

2.若一元二次不等式2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,则实数k的取值范围为(　　)

A.-3<k≤0 B.-3≤k<0

C.-3≤k≤0 D.-3<k<0

解析:∵2kx2+kx-<0为一元二次不等式,

∴k≠0.

∵2kx2+kx-<0对一切实数x都成立,

∴解得-3<k<0.

答案:D

3.甲厂以x千克/时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是1005x+1-元.若使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元,则x的取值范围为(　　)

A.{x|x≥3} B.

C.{x|3≤x≤10} D.{x|1≤x≤3}

解析:根据题意,得200≥3000,

整理得5x-14-≥0,即5x2-14x-3≥0,

又1≤x≤10,可解得3≤x≤10.

即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,x的取值范围是{x|3≤x≤10}.

答案:C

4.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是{x|-4≤x≤3}的子集,则a的取值范围是(　　)

A.{a|-4≤a≤1} B.{a|-4≤a≤3}

C.{a|1≤a≤3} D.{a|-1≤a≤3}

解析:原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a<1时,不等式的解集为{x|a≤x≤1},此时只要a≥-4即可,即-4≤a<1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a>1时,不等式的解集为{x|1≤x≤a},此时只要a≤3即可,即1<a≤3.

综上可得-4≤a≤3.

答案:B

5.若关于x的不等式ax2-6x+a2<0的解集为{x|1<x<m},则实数m的值为　　　　　. 

解析:由题意可知1,m是方程ax2-6x+a2=0的两个根,且m>1,a>0,∴解得m=2,∴m的值为2.

答案:2

6.若x∈R,不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,则实数a的取值范围是　　　　　. 

解析:不等式ax2+4x+4≥-2x2+1恒成立,

⇔(a+2)x2+4x+3≥0恒成立

⇔⇒a≥-,

故所求实数a的取值范围是.

答案:

7.已知ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},求不等式cx2-bx+a>0的解集.

解:∵不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x>3,或x<1},

∴a<0,x=3,x=1是方程ax2+bx+c=0的根,

即

∴b=-4a,c=3a.

∴cx2-bx+a>0变形为3ax2+4ax+a>0.

∵a<0,

∴3x2+4x+1<0,

∴-1<x<-,

∴不等式的解集是.

8.某地区上年度电价为0.8元/千瓦时,年用电量为a千瓦时.本年度计划将电价降低到0.55元/千瓦时至0.75元/千瓦时之间,而用户期望电价为0.4元/千瓦时.经测算,下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/千瓦时.

(1)写出本年度电价下调后,电力部门全年的收益y与实际电价x的函数解析式;

(2)设k=0.2a,当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?(注:收益=实际用电量×(实际电价-成本价))

解:(1)设下调后的电价为x元/千瓦时,

依题意知,用电量增至+a,电力部门的收益为y=(+a)(x-0.3)(0.55≤x≤0.75).

(2)依题意,有

整理得

解此不等式,得0.6≤x≤0.75.

即电价最低定为0.6元/千瓦时,仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.